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巨大数探索スレッド10

1 :132人目の素数さん:2013/11/15(金) 00:51:11.77
大きな実数を探索するスレッドです。

前スレ
 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1284207329/
巨大数研究室
 http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/
巨大数 (Wikipedia)
 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E6%95%B0
ふぃっしゅっしゅ氏の巨大数論PDF
 http://gyafun.jp/ln/
たろう氏のまとめ
 http://gyafun.jp/ln/archive/7-571.txt
Dmytro Taranovsky の順序数表記
 http://web.mit.edu/dmytro/www/other/OrdinalNotation.htm
mixi 巨大数コミュ (要 mixi アカウント)
 http://mixi.jp/view_community.pl?id=2771859

2 :◆BvcplLXSGo :2013/11/15(金) 01:55:39.87


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3 :132人目の素数さん:2013/11/15(金) 05:09:44.16
a : 順序数
A : 極限順序数 A_n がその収束列

G[0](x)=10^x
G[a+1](x)=(G[a])^x(x)
G[A](x)=G[A_x](x)
H(x)=G[ψ_0(Ψ)](x)
H^81$(5)

4 :132人目の素数さん:2013/11/15(金) 11:09:09.16
>>1

5 :132人目の素数さん:2013/11/16(土) 00:02:49.58
猫いわく、飯を喰らうことしか
考えない輩は博士課程なんかに行くなだが、
これはある意味、当たっていると企業の
人から言われた。

6 :132人目の素数さん:2013/11/16(土) 00:19:26.39
大学教員になる!って粋がってるやつほど
無能なのは教員皆が共感してる

7 :132人目の素数さん:2013/11/16(土) 13:50:57.21
いちおつ

8 :132人目の素数さん:2013/11/25(月) 22:43:23.73
>>3
a : 順序数
A : 極限順序数 A_n がその収束列

G[0](x)=10^x
G[a+1](x)=(G[a])^x(x)
G[A](x)=G[A_x](x)
H(x)=G[ψ_0(Ψ)*2](x)
H(5)

のほうがでかい

9 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/26(火) 06:57:23.44


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10 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/26(火) 13:17:07.86


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11 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/26(火) 19:48:11.80


12 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/26(火) 22:11:23.33


13 :132人目の素数さん:2013/11/27(水) 00:46:50.63
前スレ974はどれくらいの大きさでしょうか


974 132人目の素数さん sage 2013/11/14(木) 15:02:41.22
ご存知のように↑d(a,b,c)=矢印をd回転させたa↑b↑c

第1段階、新たな「↑」をa↑b=↑b(a,a,a)と定義し、
更に、新たな「↑」をa↑b=a↑a↑…(b個)…↑aと定義する

第2段階、新たな「↑」をa↑b=定義をb回したときのa↑a↑…(b個)…↑aと定義し、

更に、新たな「↑」をa↑b=b段階のときのa↑a↑…(a個)…↑aと定義する

ここまでを「第1段階」と呼び直し、
f(n)=n回呼び直したときのn↑n↑…(n個)…↑nとしf^64(4)

ダメだ…ふぃっしゅ数v3の劣化コピーですね  

14 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/27(水) 10:47:12.88


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15 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/28(木) 08:22:25.87


16 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/28(木) 09:30:32.51


17 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 15:32:41.23
お寿司の漫画いいね

18 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 18:18:14.90
>>13
↑[1,1,1]1(a,b)=↑4b(a,a,a)
↑[1,1,n+1]1(a,b)=↑[1,1,n]4b(a,a,a,a…)=↑[1,1,n]4b+1(a,b,2)
↑[1,n+1,1]1(a,b)=↑[1,n,b]4b(a,a,a,a…)=↑[1,n,b]4b+1(a,b,2)
↑[n+1,1,1]1(a,b)=↑[n,b,1]4b(a,a,a,a…)=↑[n,b,1]4b+1(a,b,2)
f(n)=↑[n,1,1]1(n,n,n,n…)=↑[n,1,1]1(n,n+1,2)
ふぃっしゅ氏が書きなおした矢印回転表記の定義に合わせるとこんな感じになるみたいだから、
f(n)は7重帰納ってことだと思う
だとしたらA(1,1,1,1,1,1,1,1)より小さいくらいかな?
ごめんあとでゆっくりと考える

19 :◆2VB8wsVUoo :2013/11/28(木) 18:19:39.13


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20 :132人目の素数さん:2013/11/28(木) 22:45:24.31
アッカーマン関数を自分で色々調べてみてA(m,n)の
左側のmはhyperとほぼ同じだと確信した。
なるほど、よく出来てるな。

21 :132人目の素数さん:2013/12/03(火) 16:36:05.18
マンデルブロ集合のあの塊を宇宙の直径だと仮定して
人間サイズの細かい部分まで計算で視覚化できると聞く。

巨大数もそのようにどうにか視覚化出来ないだろうか?

22 :132人目の素数さん:2013/12/06(金) 17:49:55.11
ボクの考えた演算子

【名前】
アッカーマン演算子

【定義】
a,b,c,n,x,y = {0以上の整数}
# = {0個以上の0以上の整数}
a*b = {b個のa}

0[]c = c+1
0[ x+1 ]c = ( c+1 )+( 0[x]c )
a[ 0, # ]c = a[ # ]c
a[ #, y+1, 0*(n+1) ]c = a[ #, y, (c+1)*(n+1) ]c
a[ #, y+1, 0*n, x+1 ]c = a[ #, y, ( a[ #, y, 0*n, x ]c )*(n+1) ]c
(a+1)[]c = a[ (c+1)*(c+1) ]c
(a+1)[ x+1 ]c = a[ ( (a+1)[x]c )*( (a+1)[x]c ) ]c

23 :132人目の素数さん:2013/12/06(金) 18:04:29.38
【名前の由来】
アッカーマン関数をベースにして拡張したから

【使用例】
1 = 0[]0 = 0[0]0
2 = 0[]1 = 0[0]1
3 = 0[]2 = 0[0]2
c+1 = 0[]c = 0[0]c

2 = 0[1]0
4 = 0[1]1
6 = 0[1]2
8 = 0[1]3
2・(c+1) = 0[1]c

3 = 0[2]0
6 = 0[2]1
9 = 0[2]2
12 = 0[2]3
3・(c+1) = 0[2]c

4 = 0[3]0
8 = 0[3]1
12 = 0[3]2
16 = 0[3]3
4・(c+1) = 0[3]c

(x+1)・(c+1) = 0[x]c

24 :132人目の素数さん:2013/12/06(金) 18:17:19.10
【使用例】
2 = 0[1,0]0
6 = 0[1,0]1
12 = 0[1,0]2
20 = 0[1,0]3
(c+1)^2+(c+1) = 0[1,0]c

3 = 0[1,1]0
14 = 0[1,1]1
39 = 0[1,1]2
84 = 0[1,1]3
(c+1)^3+(c+1)^2+(c+1) = 0[1,1]c

4 = 0[1,2]0
30 = 0[1,2]1
120 = 0[1,2]2
340 = 0[1,2]3
(c+1)^4+(c+1)^3+(c+1)^2+(c+1) = 0[1,2]c

5 = 0[1,3]0
62 = 0[1,3]1
363 = 0[1,3]2
1364 = 0[1,3]3
(c+1)^5+(c+1)^4+(c+1)^3+(c+1)^2+(c+1) = 0[1,3]c

Σ_[k=1,x+2]{(c+1)^k} = 0[1,x]c

25 :132人目の素数さん:2013/12/06(金) 18:41:52.73
【使用例】
3 = 0[1,1]0 = 0[2,0]0
30 = 0[1,2]1 = 0[2,0]1
363 = 0[1,3]2 = 0[2,0]2
19530 = 0[1,4]3 = 0[2,0]3

5 = 0[1, 3]0 = 0[1, 0[2,0]0 ]0 = 0[2,1]0
0[1, 30]1 = 0[1, 0[2,0]1 ]1 = 0[2,1]1
0[1, 363]2 = 0[1, 0[2,0]2 ]2 = 0[2,1]2
0[1, 19530]3 = 0[1, 0[2,0]3 ]2 = 0[2,1]3

0[1, 5]0 = 0[1, 0[2,1]0 ]0 = 0[2,2]0
0[1, 0[1, 30]1 ]1 = 0[1, 0[2,1]1 ]1 = 0[2,2]1
0[1, 0[1, 363]2 ]2 = 0[1, 0[2,1]2 ]2 = 0[2,2]2
0[1, 0[1, 19530]3 ]3 = 0[1, 0[2,1]3 ]2 = 0[2,2]3

こんな感じ展開していけば以下の場合にアッカーマン関数と等しくなる

Ack( x, y ) = 0[ x, y ]0

26 :132人目の素数さん:2013/12/06(金) 19:12:00.21
【使用例】
アッカーマン関数の三変数以上も同様の手続きで定義されている

0[ 0, x ]0 = 0[x]0
0[ x+1, 0 ]0 = 0[ x+1, 0 ]0
0[ y+1, x+1 ]0 = 0[ y, 0[y+1,x]0 ]0
Ack( y, x ) = 0[ y, x ]0

0[ 0, y, x ]0 = 0[ y, x ]0
0[ z+1, 0, 0 ]0 = 0[ z, 1, 1 ]0
0[ z+1, 0, x+1 ]0 = 0[ z, 0[ z+1, 0, x ]0, 0[ z+1, 0, x ]0 ]0
0[ z, y+1, 0 ]0 = 0[ z, y, 1 ]0
0[ z, y+1, x+1 ]0 = 0[ z, y, 0[ z, y+1, x ]0 ]0
Ack( z, y, x ) = 0[ z, y, x ]0

0[ 0, z, y, x ]0 = 0[ z, y, x ]0
0[ w+1, 0, 0, 0 ]0 = 0[ w, 1, 1, 1 ]0
0[ w+1, 0, 0, x+1 ]0 = 0[ w, 0[ w+1, 0, 0, x ]0, 0[ w+1, 0, 0, x ]0, 0[ w+1, 0, 0, x ]0 ]0
0[ w, z+1, 0, 0 ]0 = 0[ w, z, 1, 1 ]0
0[ w, z+1, 0, x+1 ]0 = 0[ w, z, 0[ w, z+1, 0, x ]0, 0[ w, z+1, 0, x ]0 ]0
0[ w, z, y+1, 0 ]0 = 0[ w, z, y, 1 ]0
0[ w, z, y+1, x+1 ]0 = 0[ w, z, y, 0[ w, z, y+1, x ]0 ]0
Ack( w, z, y, x ) = 0[ w, z, y, x ]0

27 :132人目の素数さん:2013/12/06(金) 19:45:27.05
【使用例】
任意の多変数のアッカーマン関数も定義されている

0[x]0 = x+1
0[ 0, # ]0 = 0[ # ]0
0[ #, y+1, 0*(n+1) ]0 = 0[ #, y, (c+1)*(n+1) ]0
0[ #, y+1, 0*n, x+1 ]0 = 0[ #, y, ( 0[ #, y, 0*n, x ]0 )*(n+1) ]0
Ack( # ) = 0[ # ]0

更に演算子の左辺の変化によってこの多変数アッカーマンの定義自体を再帰的に適用している

0[1]0 = 1[]0 = 1[0]0
0[2,2]1 = 1[]1 = 1[0]1
0[3,3,3]2 = 1[]2 = 1[0]2
0[4,4,4,4]3 = 1[]3 = 1[0]3

0[(0[1]0)*(0[1]0)]0 = 1[1]0
0[(0[2,2]1)*(0[2,2]1)]1 = 1[1]1
0[(0[3,3,3]2)*(0[3,3,3]2)]2 = 1[1]2
0[(0[4,4,4,4]3)*(0[4,4,4,4]3)]3 = 1[1]3

この演算子自体をどんどん拡張出来るけどそれは別の話

ちらしの裏なのでレスは要らない

28 :132人目の素数さん:2013/12/10(火) 16:33:57.31
ん?なにがしたいの?

29 :132人目の素数さん:2013/12/10(火) 18:02:17.58
このスレにふさわしい定理を発見した
無限の猿定理
でもこのスレに登場する増大関数を使えば有限の数で簡単に
猿がシェイクスピアの戯曲をタイプしそうだ

30 :132人目の素数さん:2013/12/13(金) 16:47:57.05
1/0

31 :132人目の素数さん:2013/12/13(金) 21:19:43.65
無限とは数ではなく状態であると聞いた。

32 :132人目の素数さん:2013/12/14(土) 20:24:38.22
-1のマイナスの部分と似たようなもの?

33 :132人目の素数さん:2013/12/17(火) 16:07:02.64
ack(9,9)個のランダムな数値列を文字列エンコードして
巨大数を求めるのに数学的に意味ある文章になったらそれを解とする
ただし、数学的に意味ある文章かを判定することは現実時間で実行できない

34 :132人目の素数さん:2013/12/18(水) 17:32:11.74
「巨大数を生成するアルゴリズムコンテスト」に
決して停止しないけれど停止しないことの証明はできないプログラムでエントリーしたら優勝できますか?
チューリングマシン停止判定の不可能性からこのようなプログラムは存在するし、
証明できないから失格にもできない。
他のプログラムが着々?と答を出す中、このプログラムは延々とカウントアップし続ければ、
ぶっちぎりで優勝になりませんか?

35 :132人目の素数さん:2013/12/18(水) 19:04:35.28
いつまで停止しないかは分からないから、案外早く止まっちゃうかもな

36 :132人目の素数さん:2013/12/20(金) 16:04:20.89
作った本人が必ず停止することを証明出来なければ
無限大にカウントを増加させるプログラムとして失格なんじゃね?

37 :132人目の素数さん:2013/12/22(日) 00:25:59.91
http://s1.gazo.cc/up/71909.jpg
これこわい

38 :132人目の素数さん:2014/01/01(水) 17:38:14.70
寿司で巨大数を知って巨大数論を読んでるんだが
17ページ目の 3^(2 * 3^2x) = 3^3^(2x + 2) って間違ってね? 俺がアホなだけ?

39 :132人目の素数さん:2014/01/02(木) 18:16:12.82
その等式自体は明らかにおかしいと思う
実際のところはlog_3(10)=2.0959...だから、そこの端数を入れて考えるんじゃないか
10^10^x =3^(2 * 3^2.1x) = 3^3^(2.1x + 0.68)と見積もる方が正確かなと思った

40 :132人目の素数さん:2014/01/02(木) 21:28:05.79
巨大数研究 Wiki
http://ja.googology.wikia.com/
というのがいつの間にかできているので、どこに書くか迷ったけどここに。

ふぃっしゅ数ver.7とラヨ数の定義を見て思ったが、
巨大な順序数を定義するのにラヨ数と同じ方法を使えば
ふぃっしゅ数ver.7よりずっと大きい数が作れそうだ。

集合論での自然数の定義0={}, 1={0}, 2={0,1},...を拡張することで、
集合論での順序数はω={0,1,...}, ω+1={0,1,...,ω}のように表される。
なので、ラヨ数の定義で「正の整数」を「順序数」に置き換えるだけで、
巨大な順序数(ラヨ順序数)を定義することができる。
(「帰納的」順序数などでないとまずいかもしれない)

この方法だと収束列が定義できないが、R_αを定義するための神託式を
 "R_a(b)=c" a番目のオブジェクト(順序数)とb,c番目のオブジェクト(自然数)に対してR_a(b)=cが成り立つ。
 ただし、a<α(a∈α)でないときは常に偽である。
とすればふぃっしゅ数ver.7と同等のラヨ階層が定義できると思われる。

ラヨ順序数を作る関数をRayo_ordinal(n)としたとき、
 R_{Rayo_ordinal(10^100)}(10^100)
はふぃっしゅ数ver.7よりずっと大きい数になると思う。

もしかしたら英語圏での議論で既出かもしれないし、
ラヨ関数自体の強さに比べると、
もしかしたらグラハム数に1を足すか2を掛けるか程度の差しかないかもしれないけど。

41 :132人目の素数さん:2014/01/03(金) 01:53:24.95
>>40
>ラヨ数の定義で「正の整数」を「順序数」に置き換えるだけで
の意味が分かりにくかったみたいだ。

定義域を順序数にするのではなく、値域を順序数にする。
つまり、ラヨ数の定義
 「一階の集合論(一階述語論理)の言葉でグーゴル個以内の記号で表現できる
 いかなる有限の正の整数よりも大きな最小の正の整数」
を、
 「一階の集合論(一階述語論理)の言葉でグーゴル個以内の記号で表現できる
 いかなる順序数よりも大きな最小の順序数」
に変えるという意味。Rayo_ordinalは自然数から順序数への写像になる。

ここまで書いて思ったが、R_{Rayo_ordinal(m)}(n)において、
nを固定してmを増やしてもn文字で表現できる順序数は限られているので
mが十分大きければR_{Rayo_ordinal(m)}(n)は一定値になる。
つまり、神託式からa<αの制限をなくしたラヨ関数をR2として、
R2(10^100)としてもR_{Rayo_ordinal(10^100)}(10^100)とほぼ同じ値となる。
なので、Rayo_ordinalという関数を定義する必要はない。

整理すると、神託式
 "R_a(b)=c" a番目のオブジェクト(順序数)とb,c番目のオブジェクト(自然数)に対してR_a(b)=cが成り立つ。
 ただし、a<α(a∈α)でないときは常に偽である。
を加えたラヨ関数をR_αとし、神託式
 "R_a(b)=c" a番目のオブジェクト(順序数)とb,c番目のオブジェクト(自然数)に対してR_a(b)=cが成り立つ。
を加えたラヨ関数をR2とするということ。

ラヨ数の定義が自己矛盾しないのと同じ理由で、関数R2も自己矛盾せずに定義できると思われる。

42 :132人目の素数さん:2014/01/03(金) 07:49:25.19
ラヨ関数の定義に神託式を加えると本当にずっと増大度の大きい関数が得られるのかが気になってきた。

ビジービーバー関数のチューリングマシンに神託を加えるとずっと増大度の大きい関数が得られるのは、
有限の時間では計算できなかった関数が有限の時間で計算できるようになるからである。

もし、ラヨ関数の定義で扱っているのがFOSTで「証明」可能な式ならば、神託式を加えることで
有限の長さでは証明できなかった式が有限の長さで証明できるようになり、
ずっと増大度の大きい関数が得られることになる。

しかし、ラヨ関数の定義で扱っているのはFOSTで「表現」可能な式である。
もしラヨ関数の式をFOSTの式で表現することが可能ならば、神託式を加えても
有限の長さで表現できた式をより短く表現できるようになるだけで、関数の増大度はほとんど変わらない。
というのも、式φ_1とφ_2が同値ならばSat([φ_1],s)とSat([φ_2],s)も同値となる。
神託式を用いてRayo(10^100)を表した式φ_1と同値なFOSTの式φ_2が10^100文字以下で表されるならば、
φ_2が定義する数はRayo(10^100)よりも小さいか、一つの数を定義しないかのどちらかになる。
前者は矛盾しているので、φ_2は一つの数を定義しないことになる。
すると、神託式を用いてRayo(10^100)を表した式φ_1も一つの数を定義しないことになってしまう。

ここから考えられる可能性は、
1. 神託式を形式的に導入しても、神託式が実質的に効力を発揮することはない。
2. ラヨ関数を表す式はFOSTで表現できない。
(つまり、ふぃっしゅ数バージョン7のwikiのページの議論で、
>ラヨ数のマイクロ言語(FOST)の中で、ラヨ関数を計算する式を立てることは可能であると思われる。
と書かれているのは誤りということになる。)
3. ラヨ関数(およびラヨ数)は定義できない。(値が一つに定まらない)
4. 上の議論自体が間違っている。
のいずれかになる。数理論理学に詳しい人の説明がほしいところだ。

43 :132人目の素数さん:2014/01/04(土) 01:41:05.83
>>42はどのマイクロ言語で式を考えているかがごちゃごちゃになっているので、
数式を用いてもう少し整理する。

ラヨ数の定義で用いられている、a∈b, a=b, (¬e), (e∧f), ∃a(e)で構成される言語をFOST、
FOSTに神託式f(a)=bを加えたものをFOST'とする。
以下では、fがラヨ関数の場合のみを考える。

言語Lを用いたラヨ関数Rayo(n,L)で式φが定義する数をNum(φ,L)と表すことにする。
>>42で単にφ_1, φ_2が表す数と書いていたのは、より厳密には
Num(φ_1,FOST'), Num(φ_2,FOST'), Num(φ_2,FOST)となる。
ラヨ関数の性質から、Num(φ_2,FOST)が定義されるならば
(1) Num(φ_2,FOST) < Rayo(10^100,FOST)
である。言語を拡張しても同じ式が定義する数は変わらないので、
(2) Num(φ_2,FOST) = Num(φ_2,FOST')
である。式φ_1とφ_2は同値なので、
(3) Num(φ_1,FOST') = Num(φ_2,FOST')
である。Num(φ_1,FOST')が定義されるならば、
(4) Num(φ_1,FOST') = Rayo(10^100,FOST)
である。(1)-(4)がすべて正しければ矛盾する。
また、(2),(3)の両辺の一方が定義されなければ他方も定義されないので、
Num(φ_1,FOST'), Num(φ_2,FOST'), Num(φ_2,FOST)はいずれも定義されないことになる。

44 :132人目の素数さん:2014/01/04(土) 01:42:07.23
「形式言語」と「形式体系」の区別がついていないことも混乱の元のように思われるので
付け焼刃の知識で説明すると、形式言語は表現可能な式(記号列)を定める。
ただし、形式言語だけでは式の真偽を判定(証明)することはできない。
形式体系は形式言語に加えて公理や推論規則を含んでおり、
形式体系が十分強力であれば式の真偽を証明できる。
ラヨ関数の定義では、形式言語としてのFOSTを用いており、
ラヨ関数を定義する(値を定める)ための形式体系は非常に強いものでなくてはならない。
もし形式言語FOSTの中でラヨ関数の定義式を表すことができるのならば、
FOST'の形式言語としての強さは、FOSTと変わらないことになる。
FOST'を用いればFOSTの式と同値な式をより短く表せることがあるので、
FOST'のラヨ関数はFOSTのラヨ関数より若干大きくなるが、劇的な変化にはならないはずである。

もう一つの疑問は、ラヨ関数を定義できる十分強力な形式体系として
「自然な」ものが本当に一意に定まるのかということである。
例えば、連続体仮説は現代数学の標準的な公理系で真偽を決定できず、
連続体仮説を真とする公理系も偽とする公理系も作れるそうだが、
ラヨ数についてもその値が異なるような複数の「自然な」公理系が作れてしまわないかと疑問に思う。
これは素人が考えてもどうしようもないので専門家に任せるしかなさそうだ。
"Big Number Duel"でgoogle検索しても23件しか出てこないので、
ラヨ数について複数の専門家による十分な検証はされていない気もする。

45 :132人目の素数さん:2014/01/04(土) 05:58:05.04
ラヨ関数を定義できる形式体系がどのようなものか考えてみた。

ラヨ関数の定義に出てくる式Sat([φ],s)の真偽が判定できなければラヨ関数は定義できない。
Sat([φ],s)の真偽を判定するには、FOSTの式すべての真偽を判定(証明)できなければならない。
FOSTは自然数論を含んでいるので、ゲーデルの不完全性定理の証明から考えると
「自然数論を含む帰納的に記述できる無矛盾な公理系」をどのように選んでも、
その公理系では証明も反証もできない命題がFOSTに含まれていると思われる。
矛盾した公理系でラヨ関数を定義するのは無意味であり、
自然数論を含まない公理系で自然数の関数であるラヨ関数は定義できないので、
帰納的に記述できない公理系でしかラヨ関数は定義できないことになる。

帰納的に記述できない「自然な」公理系が選べて、ラヨ関数は一意に定まるのだろうか。

46 :132人目の素数さん:2014/01/04(土) 22:51:24.03
ラヨ関数の定義で、都合の悪いものはすべて除外されると考えるのは正しいのだろうか。

Sat([φ],s)の定義では、
任意の[ψ],tについてR([ψ],t)が命題ψ(t)と同値になるようなRを考えている。
つまり、∀[ψ],t: ...の部分の式は、
∀[ψ],t: R([ψ],t)⇔ψ(t) …(*)
と同値と考えられる。
任意の[ψ],tについて考えるということは、FOSTの任意の命題の真偽を考えるということであり、
ここでは都合の悪い命題を除外して考えることはできない。
もし、FOSTで表現可能だが証明できない命題があれば、Sat([φ],s)の真偽も証明できないと思われる。

Sat([φ(x_1)],s)からRayo(n)を定義するときには、
異なるx_1を持つ変数設定s,tについてSat([φ(x_1)],s), Sat([φ(x_1)],t)が真となるような[φ(x_1)]や
Sat([φ(x_1)],s)が真となる変数設定sが存在しない[φ(x_1)]は一つの数を定義しないとして除外される。
ラヨ数の定義式[φ(x_1)]を10^100文字以内で書いても[φ(x_1)]は一つの数を定義せずに除外されるという根拠は、
[φ(x_1)]が一つの数を定義すれば矛盾するということと思われる。

このとき、FOSTを拡張して神託式を用いた異なるラヨ数の定義式[φ'(x_1)]を書いても、
φ(x_1)とφ'(x_1)が同値である限りSat([φ(x_1)],s)とSat([φ'(x_1)],s)は同値で、
[φ(x_1)]も[φ'(x_1)]も一つの数を定義しないのではないかと思う。(>>43)
神託式であるという理由で[φ'(x_1)]が一つの数(ラヨ数)を定義するというのならば、
φ(x_1)とφ'(x_1)は同値でなく、φ(x_1)はラヨ数の定義式でないことになる。

そもそも、ラヨ数の定義式[φ(x_1)]が一つの数を定義しないというのは、もし(*)式を満たすRが存在すれば
「ラヨ数=nを満たす自然数nが存在しないか複数存在する」という命題が
ラヨ数を扱う形式体系で証明できるということになり、
ラヨ数は一意に定まらないということにならないのだろうか。
もしそうだとすれば、Rayo(n,L)の定義式が形式言語Lを用いてn文字以内で表せる限り
Rayo(n,L)は一意に定まらないことになってしまう。
ラヨ関数が定義できないのであれば、ラヨ関数の神託式を導入しても機能しないことにも納得がいく。
ただ、本当にラヨ関数が定義できないのかは厳密な議論をしないと分からないだろう。

47 :132人目の素数さん:2014/01/05(日) 02:06:50.56
よく考えると、ラヨ関数を定義するには必ずしも任意の[φ],sについてSat([φ],s)の真偽を知る必要はない。
1. Sat([φ(x_1)],s)を満たし、x_1が自然数であるsが存在する
2. Sat([φ(x_1)],t)を満たす任意のtについて、tのx_1は同じ自然数である
を考えるとき、1.かつ2.が偽と証明するには、
a. Sat([φ(x_1)],s)を満たし、x_1が自然数であるsは存在しない
b. Sat([φ(x_1)],s)を満たし、x_1が自然数でないsが存在する
c. Sat([φ(x_1)],s)を満たし、x_1が異なる自然数である複数のsが存在する
のいずれかが示せればよく、それには任意の[φ],sについてSat([φ],s)の真偽を知る必要はない。
さらに、[φ(x_1)]以下の文字数で自然数Nを定義する式が存在するとき、
d. Sat([φ(x_1)],s)を満たし、x_1>Nであるsは存在しない
を示せれば[φ(x_1)]が一つの数を定義するかを知る必要もない。

FOSTの任意の命題ψについて、(x_1=m)∧ψ (mはある自然数)を表す式φ(x_1)を考えると、
φ(x_1)が一つの数を定義するかを知るにはψの真偽を知る必要があるので、
FOSTの任意の命題の真偽を知る必要があるのではないかと思ったが、
φ(x_1)以下の文字数でmを定義する式が存在し得るので、
FOSTの任意の命題の真偽を知る必要はないと思われる。
なので、>>45の議論は間違いということになる。

>>46の議論も初めの部分は間違いということになるが、
神託式が機能しない可能性やラヨ関数が定義できない可能性は否定できない。

48 :132人目の素数さん:2014/01/05(日) 05:41:02.13
>>42について考えていたが、結局のところ
>2. ラヨ関数を表す式はFOSTで表現できない。
が正しいのではないかと思った。
というのも、ラヨ関数の定義に出てくるSat([φ],s)はRについての量化を含んでいる。
Rの集合の濃度は自然数と変数設定の直積の冪集合と同じ濃度であるため、
変数設定のオブジェクトの集合の濃度よりも大きい。
そのため、オブジェクトについての量化しか含まないFOSTではRについての量化を表せず、
ラヨ関数を表す式を直接FOSTで表現することはできないと思われる。

ただ、ゲーデル数を用いて形式体系を自然数論の中で取り扱うことで間接的にラヨ関数を表すことは、
帰納的に記述できる形式体系については可能と思われる。
この場合、帰納的に記述できる形式体系でラヨ関数を定義しようとすると
矛盾が生じてラヨ関数が一意に定まらなくなってしまう。
つまり、>>45とは別の理由で、帰納的に記述できない公理系でしかラヨ関数は定義できないと思われる。

帰納的に記述できない公理系で定義されたラヨ関数は、
直接的にも間接的にもFOSTの式で表すことができないため、
神託式を導入することで形式言語が拡張でき、より強いラヨ関数が定義できると思われる。
また、ラヨ関数がFOSTの式で表せることを前提にした>>43,>>46の議論は成り立たなくなる。
しかし、>>44,>>45の最後で書いた、ラヨ関数の値が公理系に依存しないかという問題は残ると思われる。

49 :132人目の素数さん:2014/01/05(日) 20:48:35.65
数学なのに計算出来ないのは、なんかもやもやする

50 :132人目の素数さん:2014/01/11(土) 06:37:08.84
数理論理学について素人なので誤解があるかもしれないが、ラヨ数に関する考察の続き。
ラヨ関数を一意に定義する方法を考えようとしたが、結局は失敗に終わっている。

ラヨ関数をある形式体系で「定義する」という言葉を何度か使ったが、その意味が曖昧だった。
「定義する」という意味として、たとえば次のようなものが考えられる。
1. 考えている形式体系で任意の自然数nに対しある自然数mが存在して、「Rayo(n)=m」が証明できる。
2. 考えている形式体系で任意の自然数nに対し「∃!m.Rayo(n)=m」が証明できる。(∃!は「一意に存在する」の意味)
3. 考えている形式体系で任意の自然数nに対し、「Rayo(n)=m」となる自然数mが「一意に定まる」。

>>45>>48では1.の意味で「定義する」という言葉を用いていた。
帰納的に記述できる形式体系の場合、正しい証明をアルゴリズムで探索することができるため、
1.の意味で定義できる関数はすべて計算可能となる。
そのため、計算不能な関数を定義するには帰納的に記述できない形式体系を考えなくてはならない。
2.の意味で考えると、非常識な形式体系を考えない限りラヨ関数は常に定義されることになる。
ただし、ラヨ関数が本当に「一意に定まる」とは限らない。
例えば、ψ(x)が「連続体仮説が真のときx=0∧連続体仮説が偽のときx=1」という式だとすると、
ZFC公理系では「∃!x.ψ(x)」が証明できるにもかかわらず、ψ(x)が真となるxは一意に定まらない。
なので、3.の意味で「定義する」ことを考えたいが、
それには「一意に定まる」というのがどういうことかを考える必要がある。

51 :132人目の素数さん:2014/01/11(土) 06:38:25.92
一階の論理体系ではモデルというものを考えることができる。
例えば、一階集合論(FOST)のあるモデルを定めるというのは、変数の取りうる範囲を(メタな視点での)ある集合として定め、
その集合の任意の要素x,yについて(FOSTにおける)「x∈y」という命題が真か偽かを公理を満たすように定めることである。
一つのモデルを定めれば、その論理体系で証明できない命題についても真か偽かを定めることができる。
一般に、ある公理系のモデルは複数存在し得るので、無矛盾な形式体系の命題は3つに分けることができるはずである。
a. 形式体系の中で証明か反証が可能な命題
b. 証明も反証もできないが、モデルによらず真偽が一意に定まる命題
c. モデルによって真偽の異なる命題
ZFC公理系で例を挙げれば、連続体仮説はc.であり、
十分大きな自然数m,nについて「BB(n)=m」はb.であると思われる。(BBはビジービーバー関数)
モデルの概念を用いれば、3.の意味でラヨ関数を定義するには「Rayo(n)=m」という命題がa.かb.であればよいことになる。

あらためて、ラヨ関数を一意に定める方法を考える。ZFC公理系でFOSTの任意の命題を扱うと問題が生じるので、
A. ZFCで証明可能な命題(a.)のみを扱う
B. ZFCでa.かb.となる命題のみを扱う
C. モデルを一つ定めてすべての命題を扱う
などが考えられる。A.では計算可能関数しか扱えないためラヨ関数がビジービーバー程度にしかならないと思われ、
C.ではZFCのモデルを具体的に一つ定めることが困難と思われるので、B.の方針で考える。
Sat([φ],s)の厳密な定義は忘れて、Sat([φ],s)はφ(s)を意味するものだと考えることにする。
すると、モデルを一つ定めればφ(x_1)が定義する数(あるいは定義されないか)が一意に定まる。
定義される数がモデルによらないときのみφ(x_1)がある数を定義すると考えれば、ラヨ関数が一意に定まるのではないか。

52 :132人目の素数さん:2014/01/11(土) 06:39:25.18
ここまで考えて、問題があることに気付いた。
FOSTのモデル自体はメタな体系としてのFOSTで扱えると思われるので、
上のように定義したラヨ関数もFOSTの式として表せると考えられる。
つまり、ラヨ関数の値がモデルに依存しなければ矛盾することになり、ラヨ関数の値は一意に定まらないことになる。
では、上で定義したラヨ関数の何がモデルに依存するのか。
おそらく、ある命題がb.であるかc.であるかというのが(メタな体系の)モデルに依存するのだと思う。
FOSTのモデルはメタな体系における集合として表せるため、
どの範囲のモデルを考えるのかがメタな体系のモデルに依存するのだろう。

53 :132人目の素数さん:2014/01/11(土) 14:59:59.90
明確な根拠があるわけではないがもしかしたら、
有限のアルゴリズムで計算することはできないが定義はできる計算不能関数があるように、
(FOSTに限らず)有限の長さの文で一意に定義することはできないが存在は示せる「定義不能関数」のようなものがあって、
ラヨ関数はそれに該当するのかもしれない。
だとすれば、FOSTより強い形式体系を用いたとしても、一意に定義する方法を探すこと自体が無意味になる。

54 :132人目の素数さん:2014/01/12(日) 02:50:01.80
完全性定理

55 :132人目の素数さん:2014/02/17(月) 17:59:07.70
保守

56 :132人目の素数さん:2014/03/06(木) 11:23:50.62
フィッシュ数の1の位の数は計算できるのでしょうか?
ほかの巨大数で計算できるものはあるのでしょうか?

57 :132人目の素数さん:2014/03/07(金) 03:03:19.48
いつの間にか「寿司」が更新されていた。

チェーンの紹介だった。

58 :132人目の素数さん:2014/03/08(土) 12:31:12.38
次の表記を考えたのですがどれ位の増加率になるのでしょうか?

拡張チェーン C_n

X:0個以上の2以上の整数
Y:0個以上の1以上の整数

C_1(a,b) = a↑↑…(b個コピー)…↑a
C_n(a) = a
C_n(a,b) = C_n-1(a,a,…(b個コピー)…,a)
C_n(a,X,y,z) = C_n(a,X,Pn(a,X,y-1,z),z-1)
C_n(a,b,X,1,Y) = C_n(a,b,X)

59 :58:2014/03/08(土) 12:33:28.75
訂正

C_n(a,X,y,z) = C_n(a,X,Pn(a,X,y-1,z),z-1)
       ↓
C_n(a,X,y,z) = C_n(a,X,C_n(a,X,y-1,z),z-1)

60 :132人目の素数さん:2014/03/09(日) 01:41:08.79
C_n(a) = a
の部分は
C_1(a) = a
じゃね?

61 :132人目の素数さん:2014/03/09(日) 01:42:26.86
と思ったが、むしろ不必要か。

62 :132人目の素数さん:2014/03/26(水) 21:19:21.14
誰か、以下のプログラムでどれくらい大きな数字が表示されるかわかる人居ませんか。
実際に動かしてみると止まる気配がありません。
mainのfの引数を0にしたときは2,1にしたときは4,2にしたときは14が表示されました。

#include<stdio.h>

unsigned long long x=1;

void f(unsigned long long a)
{
unsigned long long i;
x++;
if(a--==0)return;
for(i=x;i>0;i--)f(a);
}

void main()
{
f(3);
printf("%lld\n",x);
}

63 :132人目の素数さん:2014/03/27(木) 19:47:58.97
事故解決しました。
以下のように書き直したところすぐに実行が終わって、値は22539988369406でした。
たぶん>>62と同じ値になると思います。

#include<stdio.h>

unsigned long long x=1;

void f(unsigned long long a)
{
unsigned long long i;
x++;
if(a--==1){x+=x;return;}
for(i=x;i>0;i--)f(a);
}

void main()
{
f(3);
printf("%lld\n",x);
}

64 :132人目の素数さん:2014/03/27(木) 20:19:56.85
3*3^3^3ぐらいの大きさなのか

65 :132人目の素数さん:2014/03/28(金) 12:17:16.70
インクリメント演算をこういう表現にしてみる

a[] = 1+a
a[][] = 1+(a[])
a[][][] = 1+(a[][])
a[][][][] = 1+(a[][][])
a[]...{[]がn+1個}...[] = 1+(a[]...{[]がn個}...[])

a+100を表現する為にはaの後ろに[]を100個記述しなければならない
そこで次のような省略記法を導入する

a[]0 = a
a[]1 = a[] = 1+(a)
a[]2 = a[][] = 1+(a[])
a[]3 = a[][][] = 1+(a[][])
a[](n+1) = a[]n[] = 1+(a[]n)

これで a[]b という演算が産まれた

66 :132人目の素数さん:2014/03/28(金) 12:23:30.49
次に>>65で作った演算を新たな演算で表現にしてみる

a[[]] = a[]a
a[[]][] = a[](a[[]])
a[[]][][] = a[](a[[]][])
a[[]][][][] = a[](a[[]][][])
a[[]][][][][] = a[](a[[]][][][])
a[[]][]...{[]がn+1個}...[] = a[](a[[]][]...{[]がn個}...[])

これも次のような省略記法を導入する

a[[]][]0 = a[[]] = a[]a
a[[]][]1 = a[[]][] = a[](a[[]])
a[[]][]2 = a[[]][][] = a[](a[[]][])
a[[]][]3 = a[[]][][][] = a[](a[[]][][])
a[[]][](n+1) = a[[]][]n[] = a[](a[[]][]n)

これで a[[]][]b という演算が産まれた

67 :132人目の素数さん:2014/03/28(金) 12:30:48.22
次に>>66で作った演算を新たな演算で表現にしてみる

a[][[]] = a[[]][]a
a[][[]][] = a[[]](a[][[]])
a[][[]][][] = a[[]](a[][[]][])
a[][[]][][][] = a[[]](a[][[]][][])
a[][[]][][][][] = a[[]](a[][[]][][][])
a[][[]][]...{[]がn+1個}...[] = a[[]](a[][[]][]...{[]がn個}...[])

これも次のような省略記法を導入する

a[][[]][]0 = a[][[]] = a[[]][]a
a[][[]][]1 = a[][[]][] = a[[]][](a[][[]])
a[][[]][]2 = a[][[]][][] = a[[]][](a[][[]][])
a[][[]][]3 = a[][[]][][][] = a[[]][](a[][[]][][])
a[][[]][](n+1) = a[][[]][]n[] = a[[]][](a[][[]][]n)

これで a[][[]][]b という演算が産まれた

68 :132人目の素数さん:2014/03/28(金) 12:35:28.85
次に>>67で作った演算を新たな演算で表現にしてみる

a[][][[]] = a[][[]][]a
a[][][[]][] = a[][[]](a[][][[]])
a[][][[]][][] = a[][[]](a[][][[]][])
a[][][[]][][][] = a[][[]](a[][][[]][][])
a[][][[]][][][][] = a[][[]](a[][][[]][][][])
a[][][[]][]...{[]がn+1個}...[] = a[][[]](a[][][[]][]...{[]がn個}...[])

これも次のような省略記法を導入する

a[][][[]][]0 = a[][][[]] = a[][[]][]a
a[][][[]][]1 = a[][][[]][] = a[][[]][](a[][][[]])
a[][][[]][]2 = a[][][[]][][] = a[][[]][](a[][][[]][])
a[][][[]][]3 = a[][][[]][][][] = a[][[]][](a[][][[]][][])
a[][][[]][](n+1) = a[][][[]][]n[] = a[][[]][](a[][][[]][]n)

これで a[][][[]][]b という演算が産まれた

69 :132人目の素数さん:2014/03/28(金) 12:41:07.70
次に>>68で作った演算を新たな演算で表現にしてみる

a[][][][[]] = a[][][[]][]a
a[][][][[]][] = a[][][[]](a[][][][[]])
a[][][][[]][][] = a[][][[]](a[][][][[]][])
a[][][][[]][][][] = a[][][[]](a[][][][[]][][])
a[][][][[]][][][][] = a[][][[]](a[][][][[]][][][])
a[][][][[]][]...{[]がn+1個}...[] = a[][][[]](a[][][][[]][]...{[]がn個}...[])

これも次のような省略記法を導入する

a[][][][[]][]0 = a[][][][[]] = a[][][[]][]a
a[][][][[]][]1 = a[][][][[]][] = a[][][[]][](a[][][][[]])
a[][][][[]][]2 = a[][][][[]][][] = a[][][[]][](a[][][][[]][])
a[][][][[]][]3 = a[][][][[]][][][] = a[][][[]][](a[][][][[]][][])
a[][][][[]][](n+1) = a[][][[]][]n[] = a[][][[]][](a[][][][[]][]n)

これで a[][][][[]][]b という演算が産まれた

70 :132人目の素数さん:2014/03/28(金) 12:49:53.80
>>67,68,69の帰納的記法に注目する

a[][[]][]0 = a[][[]] = a[[]][]a
a[][[]][](n+1) = a[][[]][]n[] = a[[]][](a[][[]][]n)

a[][][[]][]0 = a[][][[]] = a[][[]][]a
a[][][[]][](n+1) = a[][][[]][]n[] = a[][[]][](a[][][[]][]n)

a[][][][[]][]0 = a[][][][[]] = a[][][[]][]a
a[][][][[]][](n+1) = a[][][[]][]n[] = a[][][[]][](a[][][][[]][]n)

上記のパターンのルールより、以下の省略記法を導入する

a[](m+1)[[]][]0 = a[]m[[]][]a
a[](m+1)[[]][](n+1) = a[]m[[]][](a[](m+1)[[]][]n)

これで a[]b[[]][]c という演算が産まれた

71 :132人目の素数さん:2014/03/28(金) 12:57:16.22
次に>>68で作った演算を新たな演算で表現にしてみる

a[[]][[]] = a[]a[[]][]a
a[[]][[]][] = a[](a[[]][[]])[[]][](a[[]][[]])
a[[]][[]][][] = a[](a[[]][[]][])[[]][](a[[]][[]][])
a[[]][[]][][][] = a[](a[[]][[]][][])[[]][](a[[]][[]][][])
a[[]][[]][][][][] = a[](a[[]][[]][][][])[[]][](a[[]][[]][][][])
a[[]][[]][]...{[]がn+1個}...[] = a[](a[[]][[]][]...{[]がn個}...[])[[]][](a[[]][[]][]...{[]がn個}...[])

これも次のような省略記法を導入する

a[[]][[]][]0 = a[[]][[]] = a[]a[[]][]a
a[[]][[]][]1 = a[[]][[]][] = a[](a[[]][[]])[[]][](a[[]][[]])
a[[]][[]][]2 = a[[]][[]][][] = a[](a[[]][[]][])[[]][](a[[]][[]][])
a[[]][[]][]3 = a[[]][[]][][][] = a[](a[[]][[]][][])[[]][](a[[]][[]][][])
a[[]][[]][](n+1) = a[[]][[]][]n[] = a[](a[[]][[]][]n)[[]][](a[[]][[]][]n)

これで a[[]][[]][]b という演算が産まれた

72 :132人目の素数さん:2014/03/28(金) 12:58:24.03
>>71>>70で作った演算

73 :132人目の素数さん:2014/03/28(金) 13:05:31.10
こんな感じに地道に[]だけの組み合わせに再帰的に意味を付加して行くだけでどんどん大きな数が定義出来ちゃうよね

え?効率が悪い?
うんなこたあ知ったこっちゃない

74 :132人目の素数さん:2014/03/29(土) 06:17:08.81
3^3^3と、3を三つ重ねるだけでいきなり7兆にもなるのがすげぇと思ったあの頃
3^3^3^3なんてもう絶望的。なんせ電卓叩いても絶対エラーになる。
エラーにならない電卓を見た事無い。

その時点で絶望的なのに、3↑↑↑3なんて、計算途中で絶望的になる。
3↑↑3↑↑3だから3↑↑(3↑3↑3)。カッコの中が7兆なので・・・

3↑3↑3↑3↑3↑3↑・・・・が7兆回並ぶwもう絶望www
4回の時点で電卓にエラーが出て絶望なのに、それが7兆回続くwww

そして、そんなんでも巨大数の中では極小さい部類に入る。
もう駄目だwwwww

75 :132人目の素数さん:2014/03/30(日) 13:19:49.78
無限にどんどん遠くに行ったつもりなのに気がつくともとの場所に戻ったりするんですよ
リーマン空間では

76 :132人目の素数さん:2014/03/30(日) 13:25:12.16
正直な話
c^c^c^c で表現出来る以上の数字は無意味

77 :132人目の素数さん:2014/03/30(日) 20:55:39.52
じゃあ矢印表記でも絶望してみよう。
3→3→3、これなら3^3^3と同じだから約7兆。まだ平気。
だったらこれが3→3→3→3ならどうだ?

これは変換すると3→3→(3→3→2→3)→2になり
さらに3→3→(3→3→(3→3→1→3)→2)→2になる。
一番内側は3→3→1→3がただの3→3になるので27。
つまり3→3→(3→3→27→2)→2となるまでは普通に理解できる。

ここからカッコの中が絶望に向かう。カッコの中だけで解体していくと
(3→3→27→2)
(3→3→(3→3→26→2)→1)
(3→3→(3→3→(3→3→25→2)→1)→1)
となるが、最後の1は省いていいので、省いてどんどん続けると
(3→3→(3→3→・・・27回繰り返し(3→3→1→2))))))))))・・・

一番内側は計算して27になる。だが次の外側は3→3→27
つまり3↑↑・・・27回繰り返して3だ。
3↑↑↑3だけで絶望だったのにそれが27回。もう絶望www
もう絶望なのにまだ全然途中www

78 :132人目の素数さん:2014/03/30(日) 20:56:22.68
しょうがないんで、3↑↑・・・27回繰り返して3した数を便宜上zとする。zは絶望のz
でもその外側でも3→3→zとなる。ただの↑27回だけでも無理だったのにそれがz回www
仕方ないんでこれもまた便宜上z2にする。カッコの外に行くたびに絶望するwww
でも外へ行くたびに矢印27回じゃない。↑27回の↑27回の↑みたいに
絶望に絶望を重ね、また絶望を重ねていく感じで超増えていく。
で、便宜回数が27になり、z26になった時点でようやくカッコの中が終わる。

でもまだ途中www 3→3→3→3が3→3→z26→2になっただけ。
上と同じようにこれもまた分解
(3→3→z26→2)
(3→3→(3→3→z26-1→2))
(3→3→(3→3→・・・z26回繰り返し(3→3→1→2))))))))))・・・
すげぇwww 内側は26回繰り返しで絶望してたのに、今度はそれをz26回もwww
どんだけ絶望させる気だwww
しょうがないんで、また内側をzにして展開していく。

絶望の極地にたどり着いた頃、zz26という便宜上の表記数字ができる。
便宜しまくって、もう何がなにやらわからないwww

結論として、その中には絶望と3と↑がいっぱい詰まった何かがあるんだろう
ぐらいしか数学の素人には理解できなかったのでした。

79 :132人目の素数さん:2014/03/30(日) 21:01:45.83
数学や情報科学で自然発生した再帰的な関数で、原始再帰的でないものって何かあるのかな

80 :132人目の素数さん:2014/03/31(月) 13:06:53.88
記号の書式を追加していけばいくらでも大きな数は定義出来るからね
コンウェイのチェーン表記だってクヌースの矢印記号がありきの表現にしかすぎず
結局その実態は多変数アッカーマンと変わらんもんなあ

81 :132人目の素数さん:2014/03/31(月) 13:17:24.10
>>80
×結局その実態は多変数アッカーマンと変わらんもんなあ

○結局その実態は多変数アッカーマンで超えらるもんなあ

82 :132人目の素数さん:2014/03/31(月) 15:11:09.25
>>65-71を地道に定義して行けばこんな感じに増加していくね

n[] → n+1 → f_[0](n)
n[[]] = n[]n → f_[1](n)
n[][[]] = n[[]][]n → f_[2](n)
n[][][[]] = n[][[]][]n → f_[3](n)
n[][][][[]] = n[][][[]][]n → f_[4](n)
n[]m[][[]] = n[]m[[]][]n → f_[m](n)
n[[]][[]] = n[]n[[]][]n → f_[ω](n)

83 :132人目の素数さん:2014/03/31(月) 15:12:05.35
>>82の続き

n[[]][][[]] = n[[]][[]][]n → f_[ω+1](n)
n[[]][][][[]] = n[[]][][[]][]n → f_[ω+2](n)
n[[]][][][][[]] = n[[]][][][[]][]n → f_[ω+3](n)
n[[]][]m[][[]] = n[[]][]m[[]][]n → f_[ω+m](n)
n[][[]][[]] = n[[]][]n[[]][]n → f_[ω2](n)
n[][[]][][[]] = n[][[]][[]][]n → f_[ω2+1](n)
n[][[]][][][[]] = n[][[]][][[]][]n → f_[ω2+2](n)
n[][[]][][][][[]] = n[][[]][][][[]][]n → f_[ω2+3](n)
n[][[]][]m[][[]] = n[][[]][]m[[]][]n → f_[ω2+m](n)
n[][][[]][[]] = n[][[]][]n[[]][]n → f_[ω3](n)
n[][][[]][][[]] = n[][][[]][[]][]n → f_[ω3+1](n)
n[][][[]][][][[]] = n[][][[]][][[]][]n → f_[ω3+2](n)
n[][][[]][][][][[]] = n[][][[]][][][[]][]n → f_[ω3+3](n)
n[][][[]][]m[][[]] = n[][][[]][]m[[]][]n → f_[ω3+m](n)
n[][][][[]][[]] = n[][][[]][]n[[]][]n → f_[ω4](n)
n[]k[][[]][[]] = n[]k[[]][]n[[]][]n → f_[ω(k+2)](n)
n[]k[[]][]m[][[]] = n[]k[[]][]m[[]][]n → f_[ω(k+2)+m](n)

84 :132人目の素数さん:2014/03/31(月) 15:13:20.47
>>83の続き

n[[]][[]][[]] = n[]n[[]][]n[[]][]n → f_[ω^2](n)
n[[]][[]][[]][[]] = n[]n[[]][]n[[]][]n[[]][]n → f_[ω^3](n)
n[[]]m[[]] = n[]n([[]][]n)m → f_[ω^m](n)
n[[][]] = n[]n([[]][]n)n → f_[ω^ω](n)

n[[][][]] = n[[]]n([[][]][[]]n)n → f_[ω^ω^ω](n)
n[[][][][]] = n[[][]]n([[][][]][[][]]n)n → f_[ω^ω^ω](n)
n[[][][][][]] = n[[][][]]n([[][][][]][[][][]]n)n → f_[ω^ω^ω^ω](n)
n[[[]]] = n[[]n]n([[]n][]n)n → f_[ε_0](n)

n[[[[]]]] = n[[[]n]n]n([[[[]n]n]n][[[]n]n]n)n → f_[?](n)

n[[[[[]]]]] = n[[[[]n]n]n]n([[[[[]n]n]n]n][[[[]n]n]n]n)n → f_[??](n)

?は記述方法がわからん

85 :132人目の素数さん:2014/03/31(月) 15:37:19.77
>>84
× n[[[]]] = n[[]n]n([[]n][]n)n → f_[ε_0](n)

× n[[[[]]]] = n[[[]n]n]n([[[[]n]n]n][[[]n]n]n)n → f_[?](n)

× n[[[[[]]]]] = n[[[[]n]n]n]n([[[[[]n]n]n]n][[[[]n]n]n]n)n → f_[??](n)

n[[[]]] = n[[]n]n([[]n[]][[]n]n)n → f_[ε_0](n)

n[[[[]]]] = n[[[]n]n]n([[[]n[]]n[[]n]][[[]n]n]n)n → f_[?](n)

n[[[[[]]]]] = n[[[[]n]n]n]n([[[[]n[]]n[]n]n[[[]n]n]][[[[]n]n]n]n)n → f_[??](n)

86 :ゾラル:2014/04/05(土) 04:29:08.11
アメリカのグーゴロジストたちは化け物ですね、BEAFを解読中なんですがその実態は次元に次元を入れ子した
超次元表記と言うことです、そこでBEAFを超える超次元表記を定義してみたいと思います
まず使うのは幾何学から4次元の空間充填、その中の正8胞体を使って定義します
いきます
定義1
全ての計算可能な数及び関数は点(0次元)に変換することができるものとする、
定義2
点と点は線で結ばれ(1次元)線は正方形を形成し(2次元)正方形は立方体を形成し(3次元)立方体は超立方体(4次元)(正8胞体)を形
成するものとする
なお点と点はつながった時点で重複するものとする
定義3
使う記号を定義します
a〜z、A〜Z、α〜ω、A’〜Ω、・[]()
定義4
表記を定義します
・x[a](X,Y,Z)[b]

では、説明します
xはアルファベットがはいります
・a、・aaなどです
aは・に変換された数および関数が入ります
Xは超立方体のかずです
Yは超立方体の奥に広がる超立方体の数です
Zは超立方体のなかに超立方体が入れ子されている数です
bはそれを何回繰り返すかを表す数です

87 :132人目の素数さん:2014/04/19(土) 13:56:51.80
計算不可能レベルにも変換やら配列表記やらができないものか、ビジービーバーとか使って

m次元、一辺nマスの碁盤で囲碁を打つ
黒番と白番は互いに最善手を打ち続ける
このとき任意のnについて黒番が勝った目の数の最大値を f(m)とする。

・・・巨大にはならんわな

88 :132人目の素数さん:2014/04/21(月) 18:29:53.71
そろそろ巨乳数を探索しないか?

89 :132人目の素数さん:2014/04/22(火) 20:26:20.52
それはでかけりゃいいってもんじゃない

90 :132人目の素数さん:2014/05/01(木) 20:40:15.57
第一非可算順序数ω_1を用いて形だけ急増加関数f_ω_1をつくる
f_ω_1はあらゆる定義可能な関数よりも早く増大し、f_ω_2よりはゆっくりと増大する

どうだかなあ

91 :132人目の素数さん:2014/05/02(金) 13:09:22.32
f(a,0) = 1
f(a,n+1) = f(a,n)+a^(n+1)

lim_[a→∞]{lim_[n→∞]f(a,n)} = 0

あれ?

92 :132人目の素数さん:2014/05/05(月) 05:07:23.10
>>90
「定義可能」ということだと、第一定義不能順序数とかぶる。
「一階述語論理で」という限定がない分だけ広くなるけど、
何の限定もないと今度は何をもって定義可能とするかが分からなくなる。
定義の範囲を限定してしまうと、上限は加算順序数になってしまう。

93 :132人目の素数さん:2014/05/08(木) 21:22:29.65
カントールの対角線論法を応用して・・・

(常に増加し続ける)すべての数列の集合(自然数から自然数への写像の集合)内で
まず

a={a_1,a_2,a_3,...}

からa_1をとる。つぎにaよりも早く増加する、つまり十分大きい n について a_n<b_n が成り立つ
数列bからb_2をとる。

この操作を繰り返していくといかなる明らかな定義のある数列よりも早く増加する数列、ついでに関数ができあがる

と思ったけど数列や関数とは別の概念としてとらえないと矛盾ができてしまうな。

94 :132人目の素数さん:2014/05/19(月) 22:14:32.49
すべての数列の集合の濃度は連続体濃度に等しい。よって上の方法で定義される疑似的な関数は
f(ω_1)で初めていかなる関数よりも大きくなる。可算な順序数から実数への写像σをつかって

σ(f(σ^(-1)(n)))=g(n)

あまり自信がないけど
イオタ関数とか、海外でも似たようなこと考えてる人はいるんだな

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