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私が発見した定理

1 :132人目の素数さん:2011/12/06(火) 14:49:19.57
タイトルのとおり、自分が発見した定理とその証明を書いてください

2 :132人目の素数さん:2011/12/06(火) 15:02:47.14
1+1=1

3 :あんでぃ ◆Q5DeCEGA5s :2011/12/06(火) 18:34:15.77
あんでぃ

4 :132人目の素数さん:2011/12/15(木) 01:00:32.20
悲しい現実

5 :132人目の素数さん:2011/12/15(木) 22:52:42.23
三辺の長さa、b、cの三角形の面積をSとしたとき、

S=1/4√2(a^2+b^2)c^2-c^4-(a^2-b^2)^2

この前授業中に気が付いた

6 :132人目の素数さん:2011/12/16(金) 07:40:45.65
>>5が天才過ぎる件
高校生にしてはやりおる

7 :132人目の素数さん:2011/12/17(土) 12:45:54.26
天才がいると聞いて

8 :132人目の素数さん:2011/12/18(日) 01:12:25.57
>>5
ほほう……これはなかなか

9 :132人目の素数さん:2011/12/18(日) 08:23:35.97
ヘロンヘロン

10 :132人目の素数さん:2011/12/18(日) 08:37:17.19
中学の時、添削問題の通信欄に、その式と同等の式を書いたことがあったな
「これこれをxと置く」というテクニックを教わって、三角形に応用して導いたんだよな

11 :132人目の素数さん:2011/12/19(月) 00:48:49.67
ああ、ヘロンの公式を一つの式に纏めたのか
使い所が無いのは御愛敬か?

12 :KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2011/12/19(月) 20:33:49.41
三辺の長さがa,b,cの三角形の面積はab√(1-((a^2+b^2-c^2)/(2ab))^2)/2 になることに気がついた.
これを簡単にすると√(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4)/4になる.

13 :132人目の素数さん:2011/12/19(月) 22:39:28.84
眠い。

14 :132人目の素数さん:2011/12/19(月) 23:15:25.31
√(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2
証明
数列
a_1=√2
a_(n+1)=√(2+a_n)について
@0<a_n<2

n=1は明らか
0<a_(n-1)<2
なら、
0<2+a_(n-1)=(a_n)^2<4
よって
0a_n)^2<4
0<a_(n>a_n

a_2=√(2+√2)>√2=a_1
a_n>a_(n-1)とすると、
{a_(n+1)}^2-(a_n)^2=-(a_n-1/2)^2+9/4

15 :132人目の素数さん:2011/12/19(月) 23:21:49.32
√(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2
証明

数列
a_1=√2
a_(n+1)=√(2+a_n)について

@0<a_n<2

n=1は明らか
0<a_(n-1)<2なら、
0<2+a_(n-1)=(a_n)^2<4
平方根は常に正だから、
0<a_n<2

A0<a_n<a_(n+1)

n=1はa_2=√(2+√2)>√2=a_1より成立
a_n>a_(n-1)とすると、
{a_(n+1)}^2-(a_n)^2=-(a_n-1/2)^2+9/4>0(∵@)
a_nは常に正だから
a_n<a_(n+1)

よってa_nは増加列且つ有界で収束する。
n→∞でa_n=a_(n+1)より
(a_n)^2=2+a_n
これをといてa_n→2
つまりa_nの極限は2
したがってn→∞で、
a_n=√(2+√(2+√(2+√(2+・・・))))=2

16 :132人目の素数さん:2011/12/19(月) 23:27:28.97
商の微分公式の別証

(u/v)'=(v'u-vu')/v^2
証明
y=u/vとすると、
u=vy.
積の微分公式より
u'=v'y+vy'

y=(u'-v'y)/v=(u'-v'u/v)/v=(v'u-vu')/v^2

17 :132人目の素数さん:2011/12/19(月) 23:31:42.92
商の微分公式からの積の微分公式の導出

(uv)'=u'v+uv'
証明
y=uvとするとu=y/v
商の微分公式より
u'=(y'v-yv')/v^2
u'v^2=y'v-(uv)v'
y'=u'v+uv'

18 :132人目の素数さん:2011/12/19(月) 23:33:39.02
>>16-17より
商と積の微分公式は互いに同値の関係にあることがわかる

19 :132人目の素数さん:2011/12/19(月) 23:45:48.90
差分を利用した積の微分公式の証明

(uv)'=(uv)'=u'v+uv'
証明

u=u(t),v=v(t)
冰=u(t+冲)-u(t)
况=v(t+冲)-v(t)
とすると,
u(t+冲)v(t+冲)-u(t)v(t)=(u+冰)(v+况)-uv=uv+u况+v冰+冰况-uv
0<冲<<1について冰况≒0であり
≒u况+v冰
よって
{u(t+冲)v(t+冲)-u(t)v(t)}/冲≒u况/冲+v冰/冲
冲→0で
(uv)=u'v+uv'

この差分という手法を知っていれば
教科書のような天才的な技法を使わなくても
だれでも積の微分公式を導出可能

20 :132人目の素数さん:2011/12/19(月) 23:51:31.99
産業で終わる幾何級数の公式の証明
r≠1において
a+ar+ar^2+...+ar^n=a(r^(n+1)-1)/(r-1)
証明
因数分解の公式より
x^(n+1)-1=(x-1)(1+x+x^2+...+x^n)
⇔a(1+x+x^2+...+x^n)=a(x^(n+1)-1)/(x-1)

21 :132人目の素数さん:2011/12/19(月) 23:56:26.28
無限幾何級数の公式の別証
|r|<1において
1+r+r^2+...=1/1-r
証明
S=1+r+r^2+...とすると
rS= r+r^2+...
上式から下式を引いて
(1-r)S=1
∴S=1/(1-r)

22 :132人目の素数さん:2011/12/20(火) 00:11:30.60
>>15の手法を用いることにより、
√(2-√(2-√(2-√(2-・・・))))=1
√(6+√(6+√(6+√(6+・・・))))=3
√(6-√(6-√(6-√(6-・・・))))=2
√(12+√(12+√(12+√(12+・・・))))=4
√(12-√(12-√(12-√(12-・・・))))=3

√(n(n-1)+√(n(n-1)+√(n(n-1)+√(n(n-1+・・・))))=n
√(n(n-1)-√(n(n-1)-√(n(n-1)-√(n(n-1)-・・・))))=n-1

1+2/(1+2/(1+2/(1+...)))=2
-1+2/(-1+2/(-1+2/(-1+...)))=1
1+6/(1+6/(1+6/(1+...)))=3
-1+6/(-1+6/(-1+6/(-1+...)))=2
1+12/(1+12/(1+12/(1+...)))=4
-1+12/(-1+12/(-1+12/(-1+...)))=3

1+n(n+1)/(1+n(n+1)/(1+n(n+1)/(1+...)))=n+1
-1+n(n+1)/(-1+n(n+1)/(-1+n(n+1)/(1+...)))=n

23 :132人目の素数さん:2011/12/20(火) 00:20:20.89
e^ix=cosx+isinxより
z=a+ibとすると、
log(a+ib)=log|z|+log(e^iθ)=log|z|+iθ
(ただしθはcosθ=a/|z|sinθ=b/|z|)
つまり複素数を定義域とする対数関数は

値がひとつに定まらない!



24 :132人目の素数さん:2011/12/20(火) 00:23:09.70
a^ix=e^(ixloga)=(cosx+isinx)^loga
=cos(xloga)+ising(xloga)

25 :132人目の素数さん:2011/12/20(火) 00:42:17.16
z=a+ib,z'=a'+ib'の偏角をθ、θ'とすると
log_z z'=logz'/logz=(log|z'|+iθ')/(log|z|+iθ)
=(log|z'|log|z|+θθ')/|logz|+i(θ'log|z|-θlog|z'|)/|logz|


26 :132人目の素数さん:2011/12/20(火) 00:48:56.67
i^(1/n)はz^n=iなるz=a+bi
i^(m/n)=(i^(1/n))^m(n,m∈N)
i^r=lim(q→r)i^q(r∈R,q∈Q)
(ai)^b=(a^b)(i^b)

27 :132人目の素数さん:2011/12/20(火) 00:57:29.04
(a+bi)^(1/n)はz^n=a+biなるz=a'+b'i
(a+bi)^(m/n)=((a+bi)^(1/n))^m
(a+bi)^r=lim(q→r,q∈Q)(a+bi)^q

ごめん寝る


28 :132人目の素数さん:2011/12/24(土) 00:30:46.55
定理というのとは違うかもしれませんが最近不思議なことに気がついたんですよ

正方形を思い浮かべてください
1辺の長さが1cmの正方形が目の前にあると思ってください
この正方形の面積は1cm2ですよね

ところが対角線の長さが求められないんですよ
対角線は確かに存在しています
ですからその長さもはっきり求めることができるはずなんです

いろいろ考えたのですが小数や分数で表すことができないんです
もちろん整数にならないのははっきりしています
ね、不思議でしょう

皆さんも考えてみてください
ひょっとするとすごいことになるかもしれませんよ

29 :ハンムラビ昇天 ◆R/MlPTLub6 :2011/12/25(日) 02:16:12.44
>>28

なにが言いたいんだお前

30 :132人目の素数さん:2011/12/25(日) 14:47:24.57
>>28
それをルート2と定義したのがすうがくなんですけど

31 :28:2011/12/26(月) 02:49:24.85
>>30
もう先に考えた人がいたのですか
残念です
でもそんなにガッカリしていないです
というのは今は直角三角形について研究しているのですが
どうやら3辺の長さには何か関係があるみたいです
もう少しハッキリすればここに書きますので期待して待っていてください

32 :132人目の素数さん:2011/12/26(月) 14:13:43.10
つまらん

33 :宇宙人:2011/12/26(月) 18:42:58.32
k=1〜n とし、二項係数をC(n, r)とするとき、

婆^3 = C(n+1, 4) + 4* C(n+2, 4) + C(n+3, 4)
婆^4 = C(n+1, 5) + 11* C(n+2, 5) + 11* C(n+3, 5) + C(n+4, 5)
婆^5 = C(n+1, 6) + 26* C(n+2, 6) + 66* C(n+3, 6) + 26* C(n+3, 6) + C(n+4, 6)

34 :宇宙人:2011/12/26(月) 18:49:15.95
書きくさしで投稿してもうた。もう1回!

k=1〜n とし、二項係数をC(n, r)とするとき、

婆^3 = C(n+1, 4) + 4* C(n+2, 4) + C(n+3, 4)
婆^4 = C(n+1, 5) + 11* C(n+2, 5) + 11* C(n+3, 5) + C(n+4, 5)
婆^5 = C(n+1, 6) + 26* C(n+2, 6) + 66* C(n+3, 6) + 26* C(n+4, 6) + C(n+5, 6)
  :
C(n, r)の前の係数はEurerian Numbers.



35 :宇宙人:2011/12/28(水) 12:04:05.21
オイラリアン数の逐次計算法

        1   1            算 式
         2,2
      1   4   1          4=1×2+1×2
       3,2 2,3
    1   11  11  1       11=1×3+4×2
     4,2 3,3 2,4
  1   26  66  26  1     26=1×4+11×2、 66=11×3+11×3
   5,2 4,3 3,4 2,5
1   57 302 302  57  1   57=1×5+26×2、 302=26×4+66×3
            :

36 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 00:05:04.73
a,b,cの長さの三辺を持つ三角形について。
aとbがなす角を二等分する線は辺cを ac/(a+b)とbc/(a+b)に分ける。
図で書いて強引に代数で解いた。

37 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 00:13:04.38
v=初速度
t=時間
a=加速度

vt+(1/2)at^2 等加速度運動する物体の何秒後の進んだ距離を求める公式
秒毎に区切って相加平均を求めていくと

vt+ (0+a)/2 + (a+2a)/2 + (2a+3a)/2 + (3a+4a)/2・・・・(t-2+t-1)/2 + (t-1+t)/2
=vt+ a{1+1+2+2+3・・・t-1+t-1+t}/2=vt+at^2/2= vt + (1/2)at^2
この求め方を先生に見せたら感激された。うれしかった

38 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 00:16:39.70
ちなみに三角形を3辺だけで面積を求める公式、
サインコサイン使わないでも代数だけで導ける。

39 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 00:29:41.52
あ、今思ったらサインコサイン使うのも媒介変数の類だから代数の部類か。

40 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 00:06:13.80
すでにあったらごめんけど、

円に内接する四角形の辺の長さをa,b,c,dとすると、
aとb、cとdの部分にわける対角線の長さxは
x=√{(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)}
となる。

まぁ美しいと思っただけで使う機会は全くないけどな

41 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 00:46:52.98
でも、そんな式を見るたびに、この世界はうまくできてるなーって関心するよね

42 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

43 :あんでぃはショートの小田和正 ◆AfX9iez2fA :2012/02/05(日) 14:40:36.87
あんでぃ

44 :粋蕎 ◆C2UdlLHDRI :2012/02/05(日) 16:37:21.46
>>40
成程

併せて覚えたい公式

ヘロンの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

ブラーマグプタの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%97%E3%82%BF%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

ブレードシュナイダーの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

双心四角形
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%BF%83%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%BD%A2

45 :KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2012/02/05(日) 17:23:47.48
nを1以上の自然数とする.
各文字が0または1で長さnの文字列で辞書式順序にすべてひとつずつ並べたときにm+1番目に来るものをb(m)とする.
文字列sが文字列tを含むとは,文字列sのある部分から初めて文字列tの文字数-1だけ文字列sの後続部に進みその行程にある文字列がtになることとする.
文字列sと文字列tのKM20120205合成とは,文字列sが文字列tを含むときは文字列sとし,
それ以外で文字列tの最初の何文字かが文字列sの最後の部分に等しいときは,その最長の一致部分を文字列tから除き残りを文字列sに追加したものとし,
それ以外のときは文字列sに文字列tを追加したものとする.
文字列sをはじめは空の文字列とし変数mをはじめは0とする.
文字列sとb(m)のKM20120205合成をしたものを新たに文字列sとし,mを1増やし,m<2^(n-1)ならばこの文の最初に戻りm=2^(n-1)ならば,文字列sの最後にb(2^(n-1))を追加したものを新たにsとする.
こうしてできた文字列sの長さは2^n+n-1で,0<=m<2^nのすべての自然数mに対してsはb(m)を含む.
またこのような性質を満たすもののなかで辞書式順序に並べたときsは最初に来る.

46 :猫は唯のイケメン ◆MuKUnGPXAY :2012/02/05(日) 18:56:09.96
>>45
消滅するまで追い詰めるさかいナ。



>45 名前:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2012/02/05(日) 17:23:47.48
> nを1以上の自然数とする.
> 各文字が0または1で長さnの文字列で辞書式順序にすべてひとつずつ並べたときにm+1番目に来るものをb(m)とする.
> 文字列sが文字列tを含むとは,文字列sのある部分から初めて文字列tの文字数-1だけ文字列sの後続部に進みその行程にある文字列がtになることとする.
> 文字列sと文字列tのKM20120205合成とは,文字列sが文字列tを含むときは文字列sとし,
> それ以外で文字列tの最初の何文字かが文字列sの最後の部分に等しいときは,その最長の一致部分を文字列tから除き残りを文字列sに追加したものとし,
> それ以外のときは文字列sに文字列tを追加したものとする.
> 文字列sをはじめは空の文字列とし変数mをはじめは0とする.
> 文字列sとb(m)のKM20120205合成をしたものを新たに文字列sとし,mを1増やし,m<2^(n-1)ならばこの文の最初に戻りm=2^(n-1)ならば,文字列sの最後にb(2^(n-1))を追加したものを新たにsとする.
> こうしてできた文字列sの長さは2^n+n-1で,0<=m<2^nのすべての自然数mに対してsはb(m)を含む.
> またこのような性質を満たすもののなかで辞書式順序に並べたときsは最初に来る.
>


47 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 19:37:11.27
x^2-(x^2-1)=x+(x-1)

48 :132人目の素数さん:2012/03/31(土) 18:14:49.03
sage

49 :132人目の素数さん:2012/04/17(火) 08:34:26.87
age

50 :132人目の素数さん:2012/07/24(火) 18:15:49.87
n•sin(π/n)<π<n•tan(π/n)
nは3以上の整数

51 :132人目の素数さん:2012/07/26(木) 16:04:16.33
「すべての人間はハゲである。」

証明
・髪の毛0本の人はハゲである。
・髪の毛n本の人がハゲであるとすると、髪の毛n+1本の人もハゲである。
ゆえに帰納法によってすべての人がハゲであると証明された。

52 :描者は痴漢 ◆ghclfYsc82 :2012/07/27(金) 08:54:57.14


>462 名前:132人目の素数さん :2012/07/26(木) 23:54:17.40
> >>461
> 専門学校生が
> 「あらやだイケメンに触られて気持ちいい」
> って思ってたら通報されなかっただろうに
> 気持ち悪いおじさんになるために努力を積み重ねてきた結果
> 「キモ顔のおじさんが、気持ち悪く触ってきて超キモい」
> って思わせることに成功し逮捕されたんだよね
> 努力を実らせた立派な人だと思う
>
>
> 努力して痴漢で逮捕される夢を叶えた描者さんはただ者じゃないと思います
> すばらしい
>


53 :132人目の素数さん:2012/07/27(金) 23:14:43.49
√1=1

√4=2

√9=3

√16=4

√25=5・・・

√がかかってる数は、
3、5、7、9、11、13、15・・・
と増えていく。

54 :真描vs偽描 ◆ghclfYsc82 :2012/07/28(土) 00:27:01.99


訂正:
懲戒免職 → 懲戒解雇

>懲戒免職になって、ここまで堕ちたか。
>昔から現実を見れていなかったが、さらにひどくなっているようだ。
>現実と願望が乖離して、願望を現実だと思い込んできているね。
>
>勝手なことを言ったり実行したりしているから、助けてもらえずクビになる。
>ほんとに人生大損だね。
>


55 :132人目の素数さん:2012/08/04(土) 09:05:07.58
(3x-4)^2+(x-1)(x-4)^2=x^3

56 :描は猫ですかね? ◆ghclfYsc82 :2012/08/07(火) 19:56:11.15


>14 名前:132人目の素数さん :2012/08/07(火) 17:39:00.96
> >>13
> 旧コテ猫あらため描つまりお前自身の事だろ、増田哲也に限り無く近い人間。
> 筑波大学で痴漢と言えば増田哲也だから連続性も明らかになってるから
> わざわざ限り無く近い人間なんて呼び方しなくていいんだけどな
>


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