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ルベーグ積分や測度論のスレ

1 :132人目の素数さん:2011/10/02(日) 20:55:54.66
癖のある教科書に引っかからないようにしましょう

2 :132人目の素数さん:2011/10/02(日) 21:01:46.62
僕が、柴垣がお薦めです!というとすごく非難されます。
でも、詳しければいいとか、易しければいいとか、
そういうことではないと思うんです。


3 :132人目の素数さん:2011/10/02(日) 21:03:39.32
関連スレ

関数解析(Functional Analysis)
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1311378587/

4 :132人目の素数さん:2011/10/02(日) 21:10:56.54
関連過去ログ

関数解析&ルベーグ積分
http://logsoku.com/thread/science.2ch.net/math/1043423127/

Functional Analysis, Lebesgue Integral II
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1088665870/

Lebesgue積分ゼミ
http://logsoku.com/thread/science3.2ch.net/math/1109910304/

5 :132人目の素数さん:2011/10/03(月) 17:22:22.80
R^1上のルベーグ可測な集合Aで
どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもA=(O∪S1)-S2とならないような
Aは存在しますか

6 :132人目の素数さん:2011/10/03(月) 21:59:30.38
>>5
存在する。


集合A⊂Rに対して、Aの閉包をA^aと書き、Aの開核をA^iと書くことにする。
ルベーグ可測集合Aに対して、Aのルベーグ測度をm(A)と書くことにする。

補題1:Oは開集合でNはゼロ集合とする。このときO⊂(O∩N^c)^aが成り立つ。
補題2:閉集合 K⊂R であって、K^i=φかつm(K)>0を満たすものが存在する。

>5への回答:
補題2を満たすKを取る。このKが求めるAである。実際、ある開集合Oと零集合S1,S2が存在して

K=(O∪S1)∩S2^c

と表せたとする。K ⊃ O∩S2^c であるから、

K = K^a ⊃ (O∩S2^c)^a ⊃ O

が成り立つ(最後の包含は補題1を使った)。よって K ⊃ O となるので、

φ = K ^i ⊃ O^i = O

となる。すなわちO=φとなる。このとき K=S1∩S2^c ⊂ S1 だから
m(K)≦m(S1)=0すなわちm(K)=0となるが、これはm(K)>0に矛盾する。
よって、どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもK=(O∪S1)∩S2^cとならない。(終)

補足:K=(O−S1)∪S2 も出来ない。この場合 K ⊃ O∩S1^c だから、あとは同じ議論で矛盾する。


7 :132人目の素数さん:2011/10/03(月) 22:04:10.32
x∈Rを中心とする半径rの開球をB_r(x)と書くことにする。
開球と言っても、今の場合は1次元だからB_r(x)=(x−r, x+r)である。

補題1の証明:
O=φのときは明らかに成立する。以下、O≠φとしてよい。
題意を示すには「x∈Oならばx∈(O∩N^c)^a」を示せばよい。すなわち、

「x∈Oならば『任意のr>0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φ』」

を示せばよい。
x∈Oとする。あるr>0が存在してB_r(x)∩(O∩N^c)=φ が成り立つとする。このとき

B_r(x)∩O ⊂ N … (1)

が成り立つことが分かる。また、Oは開集合でx∈Oだから、B_{r_1}(x)⊂Oなるr_1>0が取れる。
よって、r_2=min { r, r_1 } と置けば B_{r_2}(x) ⊂ B_r(x)∩O となる。これと(1)から

B_{r_2}(x) ⊂ N

となる。よって 0 < m(B_{r_2}(x)) ≦ m(N) = 0 となって矛盾する。
よって、任意のr>0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φが成り立つ。以上より、成立。

8 :132人目の素数さん:2011/10/03(月) 22:13:53.82
補題2の証明:
I=[0,1]と置く。有理数全体の集合をQと置く。Qは可算集合だから、
Q={p_k|k=1,2,3,…} と番号づけて表示できる。

O = ∪[k=1〜∞] B_{ 0.01^k }(p_k)

と置くと、明らかに

Q ⊂ O … (1)

である。また、Oは開集合であり、

m(O) ≦ Σ[k=1〜∞] 2*0.01^k = 2/99

が成り立つ。次に、K=I∩O^c と置く。このKが求めるKである。以下でこれを示す。
まず、Kは明らかに閉集合である。次に、

I=(I∩O^c)∪(I∩O)=K∪(I∩O)⊂K∪O

が成り立つ。よって

1=m(I)≦m(K)+m(O)≦m(K)+2/99

すなわち m(K)≧1−2/99>0 となる。さらに、K^i=φである。実際、K^i≠φだとすると、
x∈K^i なるxが存在する。このとき、あるr>0が存在してB_r(x)⊂K^i が成り立つ。これと

K^i ⊂ K = I∩O^c ⊂ O^c ⊂ Q^c

より、B_r(x) ⊂ Q^c が成り立つことになる。しかし、B_r(x)=(x−r, x+r) には
必ず有理数が含まれるから、矛盾する。以上よりK^i=φである。(終)


9 :132人目の素数さん:2011/10/06(木) 16:53:11.59
>>6-8
証明理解しました
測度が0じゃないカントール集合のようなモノを作ればいい訳ですか
ありがとうございました!

10 :132人目の素数さん:2011/10/19(水) 22:45:57.22
sage

11 :132人目の素数さん:2011/10/20(木) 18:17:33.18
よくわからない問題があるので是非よろしくお願いします。
f(x)=sin(2πx) (0.1)\Q
     ∞     (0.1)∩Q
の||f||L∞(E)


g(x)=1/x (0.1)
の||g||L∞(E)


の二問です。
よろしくお願いします。


12 :132人目の素数さん:2011/10/20(木) 18:26:41.97
>>11
E=(0,1)だとして
どんなに小さいε>0に対しても{x∈E | 1-ε≦f(x)≦1}の測度が0より大きくて
{x∈|E | |f(x)|>1}の測度が0だから ||f||_L∞(E)=1
またどんなに大きいC>0に対しても{x∈E | g(x)>C}の測度が0より大きいから
||g||_L∞(E)=∞

13 :132人目の素数さん:2011/10/20(木) 22:16:41.35
12番さん

ありがとうございます。

また質問するかもしれないです。

本当にありがとうございます。

14 :132人目の素数さん:2011/10/21(金) 05:28:05.65
pink

15 :132人目の素数さん:2011/10/22(土) 22:56:47.26
R上のルベーグ測度に関する絶対連続測度μを考える
μ-測度収束位相において、C_0^∞(R)がR上μ-可測関数全体のなす線形空間の閉部分空間となる例は有るか?

f_nが測度収束 ∀ε,δ>0∃N∀n,m>N ( m(|f_m-f_n|<ε)<δ)

16 :132人目の素数さん:2011/10/26(水) 18:39:40.84
わからない問題があります。

E∈m m(E)<∞
1≦p<q≦∞のとき
Lq(E)⊂Lp(E)を示せ。

またf∈Lp(E)→||f||Lp(E)≦Co||f||Lq(E)
となる Co(fによらない)があることを示せ。

お願いします。

17 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :2011/10/27(木) 00:04:35.38
q_n(n=1,2,…)を有理数の列ですべての有理数が一度ずつ入る列としよう.
∪(q_n-2^(-n)..q_n+2^(-n)) はBorel可測となりその測度は1以下になるはずだが, 本当にこれでいいのか.


18 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :2011/10/27(木) 00:06:45.12
n番目の区間のBorel測度は2^(-n+1)になるから,和集合のBorel測度は2以下になるはずだが,本当にこれでいいのか.

19 :132人目の素数さん:2011/10/27(木) 03:01:10.48
僭越ながら高校生の者です。ルベーグ積分を勉強したいのですがどの教科書がいいですか?

20 :132人目の素数さん:2011/10/27(木) 03:19:15.20
>>19
う〜ん。
とりあえずは志賀浩二の「ルベーグ積分30講」だな。
自分も高校の時に読んで良かった。
ソレ以外だと、適当なのがないな。

21 :132人目の素数さん:2011/10/27(木) 04:51:00.58

中野剛志先生がTPP賛成論者の詭弁を全滅させたようです
http://www.youtube.com/watch?v=9amjatPD_l4
http://www.youtube.com/watch?v=8G29qFqId2w


中野先生が敗北宣言、暗殺される?
日本が米国の植民地に。すでに99%手遅れか?
http://www.nicovideo.jp/watch/sm15973549


テレビ・新聞にだまされるな。
気づいたら、
「my日本」で検索


22 :132人目の素数さん:2011/10/27(木) 08:59:31.16
TPP

23 :132人目の素数さん:2011/10/27(木) 13:48:06.57
経済学部で、測度論を勉強する必要があります。
数学は、高校数学と+αで止まっています。
30講は読みましたが、あぁいう感じの本は読みにくかったです。

何をいいたいのかって言うと・・・

数学の知識が足りないくせに、なるべく論理的・厳密に測度論を理解したいというわがままな俺に、お薦めの本や、準備段階としてやるべきこと(集合位相は必須?)を教えてください。
目的は確率論です。

24 :132人目の素数さん:2011/10/27(木) 14:14:24.96
>>23
積分と関数解析
http://www.amazon.co.jp/gp/aw/d/4431711872/ref=_p0

25 :132人目の素数さん:2011/10/28(金) 08:09:14.27
>>24
難しそうなので別のをお願いします

26 :132人目の素数さん:2011/10/28(金) 08:59:23.83
change!

27 :132人目の素数さん:2011/10/29(土) 10:13:08.13
新井仁之のルベーグ積分講義は厳密だっけな

28 :132人目の素数さん:2011/10/29(土) 10:37:43.20
ルベーグ積分を厳密に書いてる本ってあまりないよ

29 :132人目の素数さん:2011/10/30(日) 23:47:24.47
すみません質問させてください。

整数Z上の測度mで、・m(Z)=1
・(∀b∈Z)(∀A:Z上の可測集合)m(A)=m(A+b)
(A={a_i}としたとき、A+b={a_i+b})
を満たすとする。

このとき、mのような測度が存在するZ上ののσ加法族で最大のものはなんですか??

30 :132人目の素数さん:2011/10/31(月) 12:22:19.49
>>23
はっきりと言ってあげるね
君には測度論は二年早いよ
数学科ではまず微積分と線形代数を教養課程でみっちりやる
基礎がない君が背伸びしても何も身につかないよ

31 :132人目の素数さん:2011/10/31(月) 13:00:38.86
>>30
経済学部の測度論なので、確率、確率過程が展開できればいいと思うので、厳密にやらなくてもいいと思うよ。

32 :132人目の素数さん:2011/10/31(月) 13:04:44.39
分かった振りしとれば単位くらいはとれるよ。

33 :132人目の素数さん:2011/10/31(月) 13:20:11.70
せや。測度の採点厳しくしたら経済学部の連中の大方は単位取れないw

34 :132人目の素数さん:2011/10/31(月) 13:38:41.79
現代の解析は無限次元解析が主流
したがって、測度も無限次元位相ベクトル空間に値をとるものが重要


35 :132人目の素数さん:2011/10/31(月) 13:40:26.11
無限次元ベクトル値測度が重要なの?

36 :34:2011/10/31(月) 13:41:25.31
とハッタリをかましておく。
ほんまかいな

37 :猫は闇将軍 ◆MuKUnGPXAY :2011/10/31(月) 18:03:49.04
>>36
こういう話はアルみたいですけどね:
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_measure
でも普通に使われるのは:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bochner_integral
だと思います。但し主流かどうかは知りませんが。




38 :KingMathematician ◆5lHaaEvFNc :2011/11/01(火) 22:33:38.99
自由度が可算でも, いろいろな空間がある.
Nを自然数全体からなる集合とする.
写像f:N→R,でR-{0}のfによる逆像が有限集合になるもの全体からなる空間とf:N→R全体からなる空間がある.
有限個しか0以外にならないほうが扱いやすいこともある.

39 :132人目の素数さん:2011/11/01(火) 23:42:11.90
>>29
Z上のσ加法族Fが条件を満たすとするなら
(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F ……(1) という条件を満たさなければいけない
また A+b=A となるような正の整数bで最小の物をAの周期N(A)として
そのようなbがないならAは周期が無いとする
I_k={i∈Z | i/k ∈Z} とする。以下Fは条件(1)を満たすσ加法族とする。
このとき ( A∈F and N(A)=b ) → ( I_b∈F ) が成り立つことは何とか示せる

次に N(A_1)<N(A_2)<... となるような A_1,A_2,...∈Fがあるならば
{0}∈Fが成り立つこと、F=2^Zとなることも示せる
一方2^Zに対して>>29の測度は作れないので
ある自然数N>0があって F は周期がNより大きい元を持たないことになる

そして b>N として以下の F' を考えるとき、F' が I_b と F を含み(1) を満たす
σ加法族となること、また F' がそのようなσ加法族の中で最小となることを示せる
 F' = { A'⊂Z | ある A_1,...,A_b ∈ F があって
     A' = ((I_b + 1)∩A_1) ∪ ((I_b + 2)∩A_2) ∪...∪ ((I_b + b)∩A_b) となる }
Fに>>29のような測度が存在するとき、F'にもそんな測度があることを示せば
>>29を満たすσ加法族は常にそれより真に大きくてなおかつ条件を満たす
σ加法族を持つことになり最大どころか極大な物すら無いことになる

40 :132人目の素数さん:2011/11/04(金) 07:28:56.56
>>29
何気に面白いなこれ。
ZのかわりにQを使って、んで完全加法性すててジョルダン測度にしたらどうなるだろ?

41 :132人目の素数さん:2011/11/04(金) 11:41:38.97
>>29 を満たす測度空間が全て決定できたのだが、証明が長い(^o^)

42 :132人目の素数さん:2011/11/04(金) 11:45:26.87
>>41
まじで!スゴいな。

43 :132人目の素数さん:2011/11/04(金) 11:51:28.92
>>41
うpキボン

44 :132人目の素数さん:2011/11/04(金) 19:22:51.00
全て決定出来たってことは一次元準結晶を離散化したような
なんか扱いが難しそうな奴は>>29を満たす例にならなくて
周期的な集合のみからなる測度空間だけが>>29の例に該当するのかな

45 :132人目の素数さん:2011/11/05(土) 12:23:45.04
>29
その様なmは存在しない。

46 :132人目の素数さん:2011/11/05(土) 14:11:14.60
>>45
>29で書かれている「可測集合」は、ボレル可測集合全体とか
ルベーグ可測集合全体とかの意味ではないぞ。
σ集合体から自分で設定するんだ。

F={φ, Z} とすれば、Fはσ集合体。
m(φ)=0, m(Z)=1 と定義すれば、mはF上の測度。
そして、測度空間(Z,F,m)は次を満たす。
・m(Z)=1
・(∀b∈Z)(∀A∈F) A+b∈F
・(∀b∈Z)(∀A∈F) m(A)=m(A+b)

だから、>>29 が成り立つような測度空間は
少なくとも1つは存在している。

47 :132人目の素数さん:2011/11/05(土) 14:33:59.32
有限集合 Zn={0,1,2,...,n-1} 上の測度空間 {Zn,Fn,m_n} が与えられた時に
A∈F ⇔ ∃An∈Fn A = {a∈Z|∃b∈An a≡b (mod n)} となるZ上の集合族Fが作れて
m(A)をm_n(An)で定義した測度mとあわせて測度空間 {Z,F,m} を作れるよ
これ以外の F の例があるのか>>41に教えて欲しい

48 :45:2011/11/05(土) 19:38:06.09
あ、そういうことか。
すると (Z,B,P) を、
  a∈Z、A∈B ⇒ A+a∈B
を満たす確率測度空間とする。

仮に、Ø≠A≠Z だとする。
ある n∈Z が存在し、
   n∈A、n+1∉A
または
   n∈A、n−1∉A
である。
前者の場合、
   C=A∩(A+1)∩(A+2)∩…∈B
   n∈C⊆{…,n−2,n−1,n}
   B∋C∩(C^c−1)={n}
後者も同様。

よって、B={Ø,Z} 以外にはあり得ない。

49 :132人目の素数さん:2011/11/05(土) 20:39:03.16
>>48
それも間違い。A={ 2x|x∈Z } と置くと、B={φ, A, A^c, Z} はσ集合体である。
また、m(φ)=0, m(A)=1/2, m(A^c)=1/2, m(Z)=1と置くと、mはB上の測度になる。
そして、測度空間(Z,B,m)は次を満たす。

・m(Z)=1
・(∀b∈Z)(∀A∈B) A+b∈B
・(∀b∈Z)(∀A∈B) m(A)=m(A+b)

50 :132人目の素数さん:2011/11/05(土) 20:41:20.45
n∈C がどっから出てきたのか気になるわー

51 :132人目の素数さん:2011/11/05(土) 20:41:58.61
抜けてた。

つまり、何が言いたいかというと、>>49 により、
B={φ, Z }以外にも存在するということ。


52 :132人目の素数さん:2011/11/05(土) 20:43:34.12
何を言うてんの君
もう帰りや

53 :132人目の素数さん:2011/11/05(土) 21:02:09.44
阿保の雑記帳

54 :45:2011/11/05(土) 21:45:20.57
なるほど、確かに48は駄目だね

55 :132人目の素数さん:2011/11/19(土) 08:34:53.73
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年5月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

56 :132人目の素数さん:2011/11/19(土) 08:35:54.64
魂は幾何学

誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
無差別で猥褻、日本は危険
知ったかブッタの日本人
失敗作

57 :132人目の素数さん:2011/11/22(火) 03:20:45.83
>>29
Zを整数の集合、FをZ上のσ集合族として測度空間(Z,F,m)が次を満たしたとする
(1)m(Z)=1
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) A+n∈F
(2)(∀n∈Z)(∀A∈F) m(A)=m(A+n)

まず{0}∈FならF=2^Zとなることと(1)〜(3)を満たす(Z,2^Z,m)は存在しないことに注意する
A≠φとなるA∈Fをとってきて I_A=∩{a∈A}(A-a) とおくと(2)よりI_A∈Fである
0∈I_A より ∃i∈I_A(i≠0) が成り立つ。また i∈I_A, n∈Z → in∈I_A と i,j∈I_A → i+j∈I_A
となることを使えば、ある数n_Aがあって I_A={..., -2n_A, -n_A, 0, n_A, 2n_A, ...} だと示せる

次に I_F=∩{A∈F, A≠φ}I_A とおけば I_A の候補は可算個しかないので
右辺は実質は可算個の集合の共通部分になり I_F∈F となる
また 0∈I_F よりある数n_Fがあって I_F={..., -2n_F, -n_F, 0, n_F, 2n_F, ...} だと示せる

そして F' を I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族とすると(2)よりF'⊂Fである
A∈F, A≠φ ならば I_A は適当な数列 a_1,...,a_k があって I_A=∪_l (I_F + a_l) となるので
I_A ∈ F' である。また A = ∪{a∈A} (I_A + a) なので A∈F' である
よって F⊂F' より F=F' となる

以上より (Z,F,m) が(1)〜(3)を満たすσ集合族ならば、ある数n_Fがあって
Fは I_F, I_F + 1,...., I_F + n_F -1 で生成されるσ集合族となることが分かる

という風に Z をもっと一般の可算環(って言葉あるっけ?)に出来そうな証明が出来た

58 :132人目の素数さん:2011/11/23(水) 05:42:08.85
>>57
> i∈I_A, n∈Z → in∈I_A

n≧0のときは簡単だけど、n<0のときはどうやって証明するの?

59 :132人目の素数さん:2011/11/23(水) 17:19:54.94
>>58
A∈F, i∈I_A とする
B≡A∩(A^c+i)=φならば∀a∈A (a-i∈A) となり -i∈I_A が示せるので
それを証明する。B∈FなのでBは可算集合か空集合になる
Bが可算集合だとすると a2=a1+ni , n∈N となる a1,a2∈B があり
a2-i=a1+(n-1)i∈A となるがこの時 a2∈A+i となってしまうので矛盾する
よって -i∈I_A となる。また一般の n<0 の場合も ni∈I_A となる、って感じで

60 :132人目の素数さん:2011/11/23(水) 19:38:08.77
>>59
サンクス。理解した。しかし凄いな。

61 :132人目の素数さん:2011/11/23(水) 21:26:21.53
E=[0.2]とし 非負単関数列sn E=[0.∞)が次で与えられている。
sn(x)= n (f(x)≧nのとき)
   k/2^n(k/2^n≦f(x)≦k+1/2^n) k=0.1.2・・・n2^n-1

のときf(x)=√x

(1)∫sn dxを求めよ (2)(1)のlim

の二問お願いします。

62 :132人目の素数さん:2011/11/23(水) 22:21:00.41
>61意味不明

63 :132人目の素数さん:2011/11/23(水) 23:40:46.88
62
√xの面積をルベーグ積分の定義で計算したいのです。

64 :132人目の素数さん:2011/11/26(土) 22:39:33.97
いやそういうことじゃなくて、書いてあることが矛盾に満ちていて意味不明ということ

例えば、
> 非負単関数列sn E=[0.∞)が次
と、関数列と領域が何の脈絡もなく併記されているとか、

> E=[0.2]とし
としておきながら、直後に
> E=[0.∞)
と矛盾したことを書く等

65 :132人目の素数さん:2011/11/27(日) 16:49:10.50
申し訳ないです。

E=[0.2)とし 非負単関列sn E→[0.∞)です。
申し訳ないです。

66 :132人目の素数さん:2011/11/27(日) 19:20:06.70
こりゃ駄目だ

67 :132人目の素数さん:2011/11/27(日) 20:55:25.03
問題文そのまま移してるんですけど・・

68 :132人目の素数さん:2011/11/28(月) 00:41:08.72
E=[0,2]として f(x): E→[0,∞) に対して
非負単関数列 s_n : E→[0,∞)が次で与えられているとする
s_n(x)= n (f(x)≧nのとき)
s_n(x)= k/2^n ( k/2^n≦f(x)≦(k+1)/2^n ( k=0,1,...,n*(2^n-1) ) )
f(x)=√x のとき
(1)∫_E s_n dx を求めよ (2)lim[n→∞]∫_E s_n dx を求めよ

が問題文だとして、(2)は∫_E √x dx だけど
(1)は計算するのめんどそうだ

69 :132番目の素数さん:2011/11/28(月) 00:47:03.26
そうなんです
2番は楽なんですけど
1番の計算ができないので1番だけでもいいのでよろしくお願いいたします。

70 :132人目の素数さん:2011/11/30(水) 03:31:44.42
やっぱり伊藤清三かなあ
吉田朋広ってどうなんだろ

71 :132人目の素数さん:2011/11/30(水) 04:47:49.21
ルベーグ積分なんて余程のハズレでない限りどの本読んだって同じよ
…という訳にはならないけど学部で必要な知識得るだけだったら同じよ

72 :132人目の素数さん:2011/11/30(水) 13:14:00.96
学部で必要な知識という事なら確かにそうだな

73 :132人目の素数さん:2011/12/02(金) 04:09:15.84
ルベーグ積分って、今でも研究されてるの?
単に、ルベーグ積分ですって言っておいて、
定理を利用すると、証明しやすいってだけじゃないの?

74 :132人目の素数さん:2011/12/03(土) 00:57:51.61
関数解析の問題なんですが

K⊂R^n 有界閉ならばC(K)がバナッハ空間になることを証明せよ

という問題なんですが
区間なら証明できるのですが一般の場合だと
どうすればいいのかわからないのでぜひよろしくお願いします。

75 :132人目の素数さん:2011/12/03(土) 01:16:19.01
>>74
C(K)の収束は関数列の一様収束と同値を使えばできると思う。

76 :132人目の素数さん:2011/12/03(土) 01:43:04.16
75さん

ということは区間でも大丈夫っすね?

77 :132人目の素数さん:2011/12/03(土) 02:32:45.50
>>76
KがコンパクトであればOK。

78 :132人目の素数さん:2011/12/04(日) 14:29:16.07
>>73
例えば実数全体の集合の部分集合が必ず可測になるような公理の定め方には
どのような物があるか、みたいなのを数理論理学で考えてるのは73の例になるのかな
ならないならもっと別の例を用意せんとな

79 :132人目の素数さん:2011/12/04(日) 15:42:41.12
>>73
研究対象かどうかはしらん。
ルベーグ積分は積分順序の交換ができようにつくられたもの。

80 :132人目の素数さん:2011/12/04(日) 16:30:44.08
>>79
そりゃ見方が狭すぎる. 各種収束定理をお忘れか

81 :132人目の素数さん:2011/12/04(日) 16:34:26.49
今のような形の測度論はコルモゴロフが(ひとまず)完成させた、という認識でいいんでしょうか

82 :132人目の素数さん:2011/12/04(日) 17:05:53.53
>>80
だれかの受け売りです。
ルベーグ、単調、ファトーでしたっけ。

83 :132人目の素数さん:2011/12/04(日) 17:40:57.46
>>82
ですね。 要するに何かの関数を少し抽象的な方法で構成しようというとき,
例えば身近な例だと常微分方程式の解の存在定理をPicardの反復法
で作る証明がありますね。目的とする関数へ収束するであろう関数列を
なんとかこしらえて,その収束先が確かに存在して目的関数が
満たすべき条件を満たしてるということが言いたい場面があるわけです。

Picardの反復法なんかは普通の微積分の範囲で済むんだけどさ。
コンパクト集合上で一様収束する関数列になってくれますからね。
もう少し面倒な,例えば偏微分方程式なんかでは考えてる台が
たとえコンパクトであっても一様収束性を言うのは厳しいなんてことが
よくあるわけです。そういうこところでルベーグ積分の理論が役に立つわけです。

ルベーグ積分が登場するまでの多変数関数論なんか大変だったんです。
とにかく目的関数に収束する関数を,まあ適当な部分列を取ることにしても
とにかく一様収束になるようにしないといけなかったから。

84 :132人目の素数さん:2011/12/09(金) 12:16:40.22
測度さえ与えられれば積分は大抵は難しさもなく定義出来る
ルベーグ積分はルベーグ測度から与えられるもの
ルベーグ測度自体はR^n上の測度で殆ど固定化された定義がある

そう考えればルベーグ積分自体を研究してる人はいないと思うが
ある図形がルベーグ可測か研究してる人や一般的な測度を研究してる人や
ルベーグ可積分な関数全体のなす集合について研究してる人は今も普通にいる

85 :132人目の素数さん:2011/12/09(金) 12:42:34.85
具体的に

86 :132人目の素数さん:2012/01/03(火) 19:09:39.03
選択公理じゃなくてハーンバナッハの定理を仮定して
ルベーグ非可測な集合or関数を作る方法を教えて下さい

87 :132人目の素数さん:2012/01/03(火) 19:36:04.31
Matthew Foreman and Friedriich Wehrung: The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set, Fund. Math., vol.138 (1999), pp.13-19

88 :132人目の素数さん:2012/01/04(水) 23:17:31.00
ばかあげ

89 :132人目の素数さん:2012/01/08(日) 21:24:04.94
選択公理じゃなくて決定性公理を仮定して
ルベーグ非可測な集合or関数を作る方法を教えて下さい

90 :132人目の素数さん:2012/01/08(日) 21:40:14.25
ばかが質問してるぞ

91 :132人目の素数さん:2012/01/09(月) 04:27:35.49
決定性公理はね

92 :132人目の素数さん:2012/01/09(月) 12:29:02.98
公理あげ

93 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 06:18:26.27
>>89
作れません

94 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 15:33:41.19
>>93
決定性公理からは、作れないことが証明できるんですか?
それなら選択公理なんて捨てて、決定性公理をデフォルトの公理にしちゃえば丸く収まりますね。

95 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 16:03:16.56
>>94
君みたいなバカがいなくなれば丸くおさまるよ

96 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 16:49:11.17
>>ルベーグ積分が登場するまでの多変数関数論なんか大変だったんです。

フーン、そうだったのですネ。
一松さんの本、(パラパラと)みてみよう。


97 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 16:51:40.85
>>96
> 一松さんの本、(パラパラと)みてみよう。
haa


98 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 17:06:29.01
>97
faa

99 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 17:07:58.29
pfaah

100 :132人目の素数さん:2012/01/10(火) 20:30:27.58
pu〜

101 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 01:19:50.19
面倒くさいから世の中の関数は全部、可測でいい。

102 :132人目の素数さん:2012/01/11(水) 02:34:20.68
>>101
選択公理(=ツォルンの補題)を諦めればそれでもいいらしいからな。

103 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 07:28:16.74
背理法を諦めれば、世の中の関数は全部連続でいい。

104 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 08:45:34.76
厨房

105 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 08:52:25.68
選択公理のなにが嬉しいのか,さっぱり分からん。

106 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 10:06:55.91
ルベーグ積分や測度論の教科書を読めば、
選択公理の有りがたさが分かるでしょう

107 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 10:19:34.30
選択公理使うと,ルベーグ積分できなくなるじゃん?

108 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 10:24:21.10
ルベーグ非可測集合の存在 …ダネッ!!

109 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 14:22:15.85
>>106
それだけだろ

110 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 14:49:26.22
選択公理はむしろ代数で、Zornの補題の形でしょっちゅう使われるわな

111 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 15:08:50.89
ベクトル空間の基底の存在

112 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 15:48:19.97
すれち

113 :132人目の素数さん:2012/01/13(金) 18:18:50.53
>>106
どこら辺でありがたくなる?
ベールの範疇定理は解析で必須だし、この証明で可算従属選択公理は必要になるけど、
可算従属選択公理だけなら非可測関数の非存在と両立するよ。

114 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 18:56:35.92
exp(-x)を0→∞でルベーグ積分した値とexp(-x)をリーマン積分した値は一致しますか?

115 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 18:58:08.84
>>114の補足ですがリーマン積分の範囲も0→∞です

116 :無頓着先生:2012/01/14(土) 22:01:08.14
>>115
僕はどうしてそういう疑問をもったのかなー

117 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 22:33:22.33
>>116
ルベーグ積分とリーマン積分の違いについて少し興味を持ったので調べてみたところ、
狭義でリーマン可積分⇒ルベーグ可積分で積分値一致
ですが広義なら常にそうではないとあったので具体的な関数でいうとどうなるのかなと

118 :無頓着先生:2012/01/14(土) 22:36:02.02
>>117
> 狭義
> 広義
正確にいってごらん

119 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 22:45:39.92
広義の積分
積分範囲が無限
狭義の積分
通常の定積分


120 :電話のお姉さん:2012/01/14(土) 22:48:21.27
じゃーちがうわね
もういいかな

121 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 22:54:14.80
眠い。

122 :132人目の素数さん:2012/01/14(土) 23:05:55.94
洗濯小売りが一つ
洗濯小売りが二つ
洗濯小売りが三つ

洗濯小売りがアレフ0
洗濯小売りがアレフ0+1

洗濯小売りがアレフ1

洗濯小売りがアレフ2

洗濯小売りが(アレフ)^2


123 :132人目の素数さん:2012/01/15(日) 07:07:29.95
例えばZFに「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加しただけで
「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」を証明する方法も見つかっていない

軽々と公理変えればいいと言えばいいってもんでもない

124 :132人目の素数さん:2012/01/16(月) 07:31:32.21
「R^nの部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加したらいいんでね?

125 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 11:18:08.55
>>124
このばあい、「R^nで定義された関数は全部ルベーグ可測関数である」
となりませんか?

126 :132人目の素数さん:2012/01/17(火) 15:36:29.48
同値なように思われるけれども

127 :132人目の素数さん:2012/01/19(木) 21:45:21.60
>>126
それで、それで、どうなる??

128 :132人目の素数さん:2012/01/21(土) 07:09:25.70
決定性公理から「R^nの部分集合は全部ルベーグ可測である」って導かれるの?

129 :132人目の素数さん:2012/01/23(月) 21:49:15.75
ばかあげ

130 :132人目の素数さん:2012/02/02(木) 05:17:03.30
マーティンの公理ってルベーグ測度や積分に何か関係あるのでしょうか?

131 :132人目の素数さん:2012/02/05(日) 23:24:01.08
吉田洋一のルベグ積分入門ってのを読んでみたけどサッパリわからなかった

132 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 11:21:11.96
>>131
同感。結局,ルベグ積分てなんなんだぁ!!(魂の叫び)


133 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 21:43:39.78
>>131
>>132
私は文系なので、数学TAUBまでしか知りませんでした。
金融論では確率、微分方程式と測度論が必須ですから、
ルベーグ積分を勉強しはじめました。
しかし、当初、さっぱりわかりませんでした。

それは今から考えると、高校数学と異なる考え方に
全くついていけてなかったことが原因だと思っています。
当初は、何がわからないのかさえ自分ではわかりませんでした。

結局、地道に努力するしかないのです。
いきなりルベーグ積分や測度論の本を読んでも、
1行ずつはなんとかわかっても、全体像は、わからないと思います。

大学で使用する位相、集合、解析学の入門書をよく読んで、
ひとつずつ自分の頭でよく考えて、大学数学というものの
考え方に十分慣れていく必要があります。
がんばってください。


134 :132人目の素数さん:2012/02/06(月) 21:44:50.18
>>131
>>132
追伸:
もし、あなた方が文系なら、まずは数Vを
丁寧にやりなおすことをお薦めします。


135 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 01:05:14.56
>>128
集合論では R も R^n も同相。集合論では R = 2^ω だからね。
よって ZF+DC に「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」って公理を追加したら
自動的に「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」となる。
当然これらは決定性公理から導かれる。

136 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 08:43:26.97
同相って言うなよ……

137 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 09:16:51.39
RとR^nが同相になるってどんな集合論だよ

138 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 09:19:35.90
同型の間違いだろ。

139 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

140 :132人目の素数さん:2012/02/07(火) 19:04:00.25
等濃のまちがいじゃねーの?

141 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 01:55:38.72
おいおい、数オタのくせにどいつもこいつも定義が変わると思考停止かよww
「R = 2^ω」と書いてあるだろうが!(2^ω)^n と 2^ω が同相なんて教養レベルの演習問題。

142 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 02:02:36.63
>>141
その「同相」の英訳は?仏訳でもいいや

143 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 02:06:06.38
homeomorphic

144 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 02:11:50.32
集合論では離散位相辺りを入れるのが常識なの?

145 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 02:14:03.03
ωには離散位相が入っているのが普通。一般に順序数には順序位相が入っているかな、ωの場合はたまたま離散移送になるってだけ。

146 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 02:17:47.82
それは知らなかった。
知っていれば、確かに教養レベルの練習問題だな。

147 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 02:22:58.25
補足すると集合論でも R=2^ω とは限らず R=ω^ω の場合もある。
要するに集合論では、R をどちらだと思っても(あるいは通常の実直線だと思っても)、
結論が同じになるような話ばかり扱っているので、扱いやすい定義を使っている。
「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。

148 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 03:06:11.23
同相じゃないんじゃん。

149 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 05:58:40.33
何言ってんだ? R=2^ω や R=ω^ω の定義の下では、R^n は R と厳密に同相だよ。

150 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 07:28:04.61
くそ論スレへ

151 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 07:36:48.58
測度論なんてくそ論の一部だろw

152 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 08:35:05.57
R と R^n は集合論だと同相だけど
位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス

単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
そういえば良い

153 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 09:01:53.92
R=2^ωなんて定義見たこと無いけど
文献挙げてもらえるかな

154 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 16:05:28.39
>単に濃度にしか依存しない話を扱っているだけなのだから
測度論勉強したことある?
ルベーグ可測性は濃度にしか依存しないなんて、御バカのいうことだw

155 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 17:04:40.84
同じ濃度(連続濃度)でも、測度は無限にも有限にも零にも、あるいは非可測にもなりますものね。

156 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 17:09:59.39
それは間違った氷系を採用するからだ

157 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 19:29:25.01
>>135
R^nルベーグ測度はn次元単位立方体に対して1を与え
直交するn方向の並進に対して不変な測度だから
濃度が等しいという理由だけでn=1からn>1が自動的というのは
書き過ぎだと思いますが?


158 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 19:54:26.04
濃度にしか依存しない話というのは測度論じゃなくて
集合論のつもりだったんだが……

159 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 22:07:58.61
ここは数学板だよな?その住人が、数学ではすべてが定義次第ってことを理解できていないのか?
通常とは定義が違うよと2度も注意があったにもかかわらず(しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ)、
いまだに自分の定義で話しているバカと、数学なのに「定義がおかしい」と言ってるバカばかり。
「定義がおかしい」が数学的な批判になりうるのは ill-defined っていう批判だけだろ。
どいつもこいつも数学のリテラシーがなさすぎ。

160 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 22:36:10.06
矛盾してないだけで意味の無い話なんて腐るほどあるよ

161 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 22:41:18.39
>>160
「しかも1度は定義変更の心の解説つきでだ」

162 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 22:50:23.86
>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは?
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか?
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない?
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。

163 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:15:16.84
つまり同相ではない。

164 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:18:06.09
だから同型だって

165 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:20:57.26
バカばっかww

166 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:25:02.09
>>162
通常の定義と違う時点で興味を失う人が大半じゃねえの?

167 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:27:07.80
>>166
最終的なステートメントはどちらの定義でも同値だと>>147が説明しているだろ。

168 :162:2012/02/08(水) 23:38:09.63
言い方が悪かったね。以下のように直せばいいかな?

>>160
意味があるかどうかは数学的内容を理解してから判断すべきものでは?
少なくともいまは
「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」から「R^2の部分集合は全部ルベーグ可測である」が導かれるか(ただしRは実直線)?
という話をしているのだから、
これを示せているのなら意味のある話ってことでいいんでない?
問題はこれが示せているかどうか数学的内容を見てから判断すればいい。


169 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:38:45.51
>>167
でもその理由を説明しているなぜなら〜以下が意味不明だよね

170 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:41:04.80
頭悪いんじゃね?測度論勉強しなおした方がいいよ。

171 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:48:35.84
ていうかωって何?

172 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:49:09.81
>「すべての実数の集合がルベーグ可測」はその例で、どの定義を使っても同値。
>なぜならルベーグ零集合を除いて同相だから。

これがちょっと意味わからないよね
2^ωとω^ωと通常のRはどれも同相じゃないし

173 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:52:17.48
同相じゃないからわざわざ「ルベーグ零集合を除いて」とついているんだろ。

174 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:56:12.27
ていうかそもそも2^ωやω^ωのルベーグ測度はどうやって定義するんだ

175 :132人目の素数さん:2012/02/08(水) 23:59:41.38
だからωって何なんだ?
R=2^ωって意味不明なんで教えろ

176 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:00:42.61
標準的な2^ωやω^ω上のルベーグ測度、と言ってもいいが、
「ルベーグ零集合を除いて同相」から induce される測度と言ってもいい。
(この場合、2^ωやω^ω側に測度がまだ定義されていないので
「ルベーグ零集合」も定義されていないが、同相から外れた部分は零集合という意味。)

177 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:00:46.63
ωはキンタマにきまっとるやろ

178 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:09:10.21
スレたたてたよ、移動してね
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328713470/

179 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:32:02.79
ここの住人には、測度論の基本的な知識もないのかね?
「ルベーグ零集合の任意の部分集合はルベーグ可測」という基本的知識があれば
>>147の解説で十分分かると思うんだがね。

180 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:32:59.92
つまりその「ルベーグ零集合を除いて同相」をどうやって構成するかが
議論の肝なわけだ。決定性公理が必要になるのもここなのかな?

181 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:34:52.68
すれちだ

182 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:36:55.57
>>168のステートメントを示すのに決定性公理は全く関係ない。
決定性公理は「R^1の部分集合は全部ルベーグ可測である」を導くというだけ。

183 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:41:05.96
Cantor空間が[0,1]の測度1の部分空間として埋め込める、って有名な定理でないの?
(0,1)と通常のRが同相なんだからそれで終わりじゃんw

184 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:42:41.86
あ、失礼、Cantor空間2^ωじゃなくて、Baire空間ω^ωね。
Cantor空間はコンパクトだから無理。

185 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:43:26.56
ω^ωが無理数全体と同相なのは知ってる

186 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:44:37.95
>>185
有理数全体はルベーグ零集合なんだから、それで終ってないか?

187 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:44:44.93
2^ωにもω^ωにもちゃんと名前があるのに
なんでR=2^ωと定義する、なんて言うんだ!

188 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:47:45.18
>なんでR=2^ωと定義する、なんて言うんだ!
私がそう名付けたわけじゃない。
記述集合論(測度論その他の研究)では、
そういう言い回しが定着してるんだから仕方ない。

189 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:50:30.25
だからωは一体何を指してるのかと聞いてる
どうして誰も答えてくれないの?
2^ωって冪集合なの?

190 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 00:54:32.38
Cantor空間とBaire空間でぐぐれ

191 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 01:01:33.27
>>190でググったらただの自然数じゃねえかよ
ωが何かを聞いてんだから自然数だと言えばいいだろうがハゲが

192 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 01:03:17.80
うるせえ!

193 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 01:04:46.88
普通の数学的知識があれば>>141-146あたりでωが何かは推測付くだろ。
教えてクンかよ、おまえは。

194 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 01:06:09.15
>>193
は?
そうに決まってんだろハゲが

195 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 01:17:05.91
てか、ルベーグとか測度論は勉強したけどこんな話知らんかったがな
基礎論とかが出てくるし
ただの2^ωとかω^ωとかをカントールだとか偉そうな名前付けてるしwww

196 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 01:20:36.34
「ルベーグ零集合を除いて同相」っていうか「可算個の点を除いて同相」だな。

197 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 01:27:23.80
確かに>>147のどこに説明不足があったのかわからんな。

198 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 04:07:36.18
>R と R^n は集合論だと同相だけど
>位相幾何じゃ同相じゃない、とかいうのは
>どう好意的に見てもナンセンス
これって
「(N,+) は高校までは単位元がないけど、
大学じゃ単位元がある、とかいうのは
どう好意的に見てもナンセンス」
というのと同じだね。

199 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 04:14:58.12
>>176
殆ど全てが例外だから、同相なんだとか馬鹿な主張してるわけか。

200 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 08:26:16.68
記述集合論は測度論その他の研究とは違うので
誤解を呼ぶ書き方は止めてちょ

代数的整数論(可換環の研究)と書くよりもっと酷いくらい

201 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 08:28:57.29
記述集合論と測度論の関係についてkwsk

202 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 18:27:23.16
まあ、あれだ、数オタなんて「数学は定義が・・・」と偉そうに言ってるが
所詮は人間、見慣れない定義がでてきた途端に簡単なことも意味不明になってしまう、
そういう良い例だw

203 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 19:29:46.17
>>202
小平先生も、人の証明を読んで間違いがないことは確認できても、わかったといえないことがある、みたいなことを書いてるし。

慣れてないと、わけわからんことはあるさ。

204 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 21:15:10.22
RとR^nが同相かどうかは
>R をどちらだと思っても(あるいは通常の実直線だと思っても)、
>結論が同じになるような話
だと言っているという理解で良いですか?

一点付け加えて拡大したら任意の位相空間はコンパクトになる事くらい知ってるでしょう?
(ルベーグ零集合を除いて)全ての位相空間はコンパクト空間だということで良いんですか?

同相かどうかは一点取り除いたり付け加えたりしただけで保たれない性質なんだから
測度論的に意味のある違いが無くても、位相空間としても同じだとか言っちゃダメだと思うよ。

205 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 22:01:06.91
>>204
あほ。スレの流れから「結論」がどれだか読み取れないアスペだなw

206 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 22:04:45.31
いや単純に>>172がルベーグ測度の完備性を知らなかっただけじゃない?
見たことあっても、身についていないっていうか。

207 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 22:30:58.15
2^ωとR^nはどういう風に同一視するんですか?
普通の全単射取るともう滅茶苦茶になって
並進不変(平行移動しても測度は同じ)じゃなくなるからまずいと思う

208 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 22:49:01.54
まだ分かっていない者もおるようだからオジサンが解説してあげよう。

1、「非可測集合が存在するか否か」という問題は、
(※)空以外の開集合が正測度を持つ完備な測度空間
については「零集合を除いた同相」によって不変。
(ここで「零集合を除いた同相」では、測度自体は変わるが
零集合は零集合にうつることに注意。)

2、従って「非可測集合が存在するか否か」という問題の対象は、
測度空間というより、
(※)の「零集合を除いた同相」という同値関係による同値類と考えるべきである。

3、すると目的の結論は「R と R^n が同じ同値類である」となる。
(R と R^n と、それらの同値類を以下混同する。)

4、これを示す為に、R と R^n の代表元として、
ω^ω と (ω^ω)^n を(2^ω と (2^ω)^n でもいいが)取ろう。
するとこれらは同相だから当然ながら同値である。

これだけのことだ。

209 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 23:01:12.78
ここの住人は初学者が多いんだから、
★★時と場合によって(考えている問題によって)同一視の仕方を替える★★
っていう抽象的な議論になれていないんじゃなかな。

>>207
並進不変とかってこの場合何も関係ないでしょ?
「並進」の構造はいまは無視していい。

210 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 23:44:11.70
同相がhomeomorphicって上で出てたが
どう考えてもRとR^nは同相=homeomorphicではない
card(R)=card(R^n)と間違えてる初心者君なんだろうな
しっかり勉強するまでROMってろよ

211 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 23:51:16.24
>>210
それネタのつもり?つまんない

212 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 00:21:11.03
分かってないのに自信満々でズレまくりのレスが沢山って、
いいねこういうの、2chらしくて素晴らしい。

213 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 00:48:47.73
>>212
じゃあ分かるように説明してくれ
あと参考文献もあげてくれ
勉強するから

214 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 00:50:50.46
>>208の説明で分からんのなら無理だろうね。
抽象的な数学的議論にもっと慣れてきてから出直してね。

215 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 00:56:13.85
>>214
だから分かんないから参考文献挙げてって頼んでるんだよ
どの本のどの章あたりとかでいいから
俺の方で勝手に勉強しとくから
無理かどうかはそのあとで決める
取り敢えず目は通してみたい
これお願いしてるんだよ

216 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 01:58:41.44
>>215
そもそも君がどの程度、測度論を知っているかが分からないと。
それに、色々な結果を使ってるのだから、一つの文献にまとまって書いてあるとも限らない。
せめてどこが分からないから(例えば>>208の1〜4の内のどれ、とか)
その部分の参考文献を教えて、と聞くべき。

217 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 02:44:44.92
同型類が分かったとしても、それに属する個々の元がわかるわけではない。

218 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 03:08:06.10
>>216
Rと2^ωが同相のところ
同相が「連続全単射かつ逆写像も連続」ではなさそうだし
その同相の定義とRと2^ωが同相ってのを確認できる文献
測度論は伊藤清三全部読んだからいいよ
以上よろしくおねがいします

219 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 03:09:56.74
>>216
間違った
RとR^nが同相、つまり4のところ

220 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 03:15:23.49
同相は「連続全単射かつ逆写像も連続」以外の意味はないだろw
(2ω)^n と 2^ω が同相っていうのが分からんのか?


221 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 03:26:08.44
>>220
そうならRとR^nは同相じゃないじゃないか
??

222 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 03:44:22.16
あー、零集合を除いた同相という同一視を同相と表現していたんだな

223 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 03:46:11.40
R=2^ω とか R=ω^ω という(通常とは違う)定義の下で R と R^n が同相って書いてはあるけど、
通常の実数直線の意味で R と R^n が同相だなんて誰も言っていないんだけどね。分かってる?

224 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 04:00:19.68
>>223
Rと2^ω、ω^ωが零集合を除いて同相ってことじゃなかったの?

225 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 08:45:45.09
>>224
別にそれがメインの主張ではない。が、勿論、その主張は正しい。

226 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 20:12:29.55
つまり、誰も言ってないというのは間違いだと認めたわけだ。

227 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 22:39:41.70
>>226
下手くそ、釣りならもっとうまくやれよ。

228 :132人目の素数さん:2012/02/10(金) 23:07:29.52
釣りではなく、負け惜しみに見えるが。

229 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 05:20:47.43
集合論で R を 2^ω や ω^ω と同一視するのは、
零集合を除いて同相だからというより、
もっと強いことがいえて可算集合を除いて同相だからだと思う。
別に測度だけ扱っているわけじゃない、Baireの範疇とかも考えるし。
だからと言って位相幾何みたいに位相空間として扱っているわけでもない。
可算個を除いて同相、で定義されるような構造として R を見ているのだと思う。

230 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 07:15:06.65
-200%意味不明

231 :132人目の素数さん:2012/02/11(土) 16:00:39.34
>>-200%意味不明
意味不明

232 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 02:22:37.92
「とってもよく意味が分かる」とか
「意味が分かりすぎて面白くない」とか、
そういうことを言いたいのでは?

233 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 03:34:30.47
「集合論では等濃でしかものを見ない」というのは、
「数学では答えは一つ」などという無知な一般人の誤解と同じようなものである。

234 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 04:24:57.25
こちらでどうぞ

俺様の測度と積分論
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328713470/

235 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 05:37:37.74
「集合論ではR^1のすべての部分集合が可測となる話しかない」という234の前提も
「数学では答えは一つ」などという無知な一般人の誤解と同じようなものであるww

236 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 06:45:05.88
測度論を道具ではなく研究の対象にしているのは、
いまどき集合論くらいのものなのだから、
このスレが集合論スレの一つになるのは自然なことだな。

237 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 07:15:17.75
age

238 :132人目の素数さん:2012/02/12(日) 08:00:57.42
集合論ではルベーグ積分も研究されていますか?

239 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 04:26:20.16
教科書は何がおすすめ?

240 :132人目の素数さん:2012/02/15(水) 19:17:30.75
とりあえず伊藤清三買っとけ

241 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 09:43:20.54
測度論では外測度から可測集合を定義しますよね?
その時に可測集合族は「外測度がその集合族上で測度となるようなσ加法族」の中で最大のものと言えるのでしょうか?

242 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 11:09:02.92
>>241
それはたとえば有限加法的測度から測度を構成するときですね
(有限加法的測度のような「元ネタ」がないと外測度が定義できない)

Γ可測集合の定義 Γ(A∩E)+Γ(A∩E^c)≦Γ(A) for all A
だから Γ(B∩D)+Γ(B∩D^c)>Γ(B) for some B
なる D を追加できるるかという問題とすると
外測度の定義に基づいてΓ(B)をΓ(I_n)で近似 したとき
加法性が十分大きなnで破れる(から追加不可能よって最大)

ということでどうでしょう?


243 :132人目の素数さん:2012/02/16(木) 13:29:06.20
>>242
ご回答をありがとうございます。
確かにジョルダン測度から構成された外測度なら可測集合族が「最大」と言えます。
それで一般の外測度ではどうかと思って質問させて頂いたのです。

244 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 10:08:39.41
x∈(-1,2)ならA(x)=x^2 , x∈R-(-1,2)ならA(x)=0 とする
f(x)∈L^1(R) かつ ∫_R f=1 とする
このとき lim[t→∞] ∫_R f(x)A(tx)dx はどう求めればいいですか

245 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 14:20:56.97
A=x^2 (-1/t,2/t)
Σf(x)(2/t-(-1/t))((-1/t)^2)=3Σ(1/t)^3f(x)<SfAdx<3Σ(1/t)(2/t)^2->0

246 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 14:26:14.29
SfAdx<3Σf(x)(1/t)(2/t)^2->0

247 :132人目の素数さん:2012/02/18(土) 16:23:42.28
∫_R f(x)A(tx)dx=∫ f(x)x^2dx (-1/t,2/t)->Sf(0)0^2

248 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

249 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 12:05:02.62
ガロアがツイートすれば。。。

250 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 13:25:13.09
アーベルとかいうイケメンを見たお( ^ω^)

251 :132人目の素数さん:2012/02/19(日) 19:42:14.40
>>94 釣りですか?

252 :132人目の素数さん:2012/02/21(火) 08:59:44.05
>>241,243
それは両方あると思います

X={1,2,3} 上の外測度Γで
Γ可測集合族がΓを測度にする最大の定義域になる場合と
広げられる場合が作れる
と思います

>>243 の疑問を最初から持っていたならば
ご自身で検討できると思いますのでお任せします

忙しくてすっかり2chに来ることが無くなりました
この件ではこれで立ち去ります


253 :132人目の素数さん:2012/02/21(火) 10:06:16.95
すみません >>252 を取り消します
あらためて >>241,243 さんに
「Xが有限集合のときはどうか?」という問題を提出します

私が次に戻ってくるまでこのスレがあるかどうか分かりませんが


254 :132人目の素数さん:2012/02/21(火) 20:44:49.13
>>252>>253
お答え頂きありがとうございます。最大とならない場合をつくることまではしていなかったので考えてみようと思います。
ただ、この問いは基本的なものだと思うのですが、
測度論の本をいくつか読んでみても書いてないのは不思議です…


255 :132人目の素数さん:2012/02/22(水) 07:27:40.99
ほとんど定義から明らかだと思うのだが

256 :132人目の素数さん:2012/03/10(土) 04:28:14.32
というわけでRとR^nは同相なのね

257 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

258 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

259 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

260 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

261 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

262 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

263 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

264 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

265 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

266 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

267 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

268 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

269 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

270 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

271 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

272 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

273 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

274 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

275 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

276 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

277 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

278 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

279 :132人目の素数さん:2012/06/08(金) 08:48:44.42
吉田って奴の本読んでるけど問題も難しいし自分で生めるところも多くてかなり地獄なんですけど
伊藤もそうですか?

280 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

281 :132人目の素数さん:2012/06/14(木) 01:06:34.02
>>279
吉田耕作? 「測度と積分」だっけか。 その本は読んでないなぁ。
伊藤清三はかなり丁寧だと思うよ。丁寧すぎて読みづらい場合は
志賀さんの「ルベーグ積分30講」とかがオススメ。

282 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

283 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

284 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

285 :132人目の素数さん:2012/07/22(日) 23:22:55.53
質問なんですが、測度論の教科書ではリーマン積分とルベーグ積分の関係は
よく記述されているのですが、コーシーの主値積分のルベーグ積分の中での
扱い・関係に関する結果ってありますか?

286 :132人目の素数さん:2012/07/27(金) 17:09:59.79
主値積分って広義積分の一種だろ
Lebesgue積分に広義積分の概念は無い。

287 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

288 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

289 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

290 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

291 :132人目の素数さん:2012/10/12(金) 17:43:01.05
1、測度と積分の本で
2、演習問題が沢山のってて(全体で300問とか)
3、ハール測度の解説(存在証明)までのってる

そんな素敵な本はありませんでしょうか。

292 :あのこうちやんは始皇帝だった:2012/10/12(金) 20:00:07.02

 20代と60代の、ニート・無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキども!

 死ね!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!



293 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

294 :132人目の素数さん:2012/11/19(月) 23:39:43.22
内測度も外測度も∞になるような非可測集合なんてあるんですかね?

295 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

296 :132人目の素数さん:2012/12/21(金) 21:45:33.77
>>294
簡単に作れるから、やってみ

297 :名無しさん:2012/12/25(火) 14:04:26.89
phase

298 :◆yEy4lYsULH68 :2012/12/25(火) 14:50:45.29
>>996
その通り。性犯罪者は何を言っても無駄だから安心して意見を書き込ん
でるのや。ワシの言う事を鵜呑みにされたら困るさかいナ。性犯罪者や
から『こそ』、自由に自分の意見が言えるのや。ソレは誰も信用せえへ
んからなんやワ。そやし意見を言うにはとても便利な立場やね。他人の
意見を鵜呑みにする奴は馬鹿。

そやし今後もガンガンと意見を書き込みまっさー



>996 名前:132人目の素数さん :2012/12/25(火) 13:28:35.52
> >>994
> 数学と無縁な性犯罪者が何言っても無駄だろう。
> それは日本に限らないよ。
> むしろ欧米の方がそういうゴミに厳しいぜ?
>

299 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

300 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

301 :132人目の素数さん:2013/03/20(水) 13:35:17.35
・∃p,q>0 ∀a<b(a,b∈R) p*(b-a)≦m(E∩(a,b))≦q*(b-a)
を満たすルベーグ可測集合Eは存在しますか?

302 :132人目の素数さん:2013/03/20(水) 13:37:12.54
p=q=1なら余裕で存在しますね
すいませんでした

303 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

304 :132人目の素数さん:2013/05/25(土) 15:12:52.33
int(x)をxを超えない最大の整数として
{ x∈[1,∞) | x^n-int(x^n) → 0 (n→∞)}
のルベーグ測度は0になりますよね?

305 :132人目の素数さん:2013/05/25(土) 16:24:10.37
どうやって証明するんだ?

306 :132人目の素数さん:2013/05/25(土) 19:00:48.58
>>304
a.e.x∈[1,∞) に対して x^n−int(x^n) は[0,1)内で一様分布するらしい(証明は知らない)ので、
{ x∈[1,∞) | x^n-int(x^n) → 0 (n→∞)} のルベーグ測度は0になる

直接的に測度0を証明してみたら一応できたけど、面倒くさい

307 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

308 :132人目の素数さん::2013/06/13(木) 04:40:25.67 ID:vk2eM44g!
測度空間(Ω,Σ,μ)に於いて,
a.e.有限可測関数の定義を教えてください。どうしても見つけれないもので。
すいません。

309 :132人目の素数さん:2013/06/13(木) 12:17:33.31
「a.e.有限」に意味があるとは思えんな

310 :132人目の素数さん::2013/06/14(金) 07:35:43.95 ID:PYk/OtKl!
ttp://books.google.com/books?id=vOXig1V7nyYC&pg=PA362&lpg=PA362&dq=%22L0(X%22+%22norm%22
&source=bl&ots=PVMgF2i3Xo&sig=7s4fWH6LnHtlAR5kJwbGM-ZgXfk&hl=en&sa=X&ei=j7i4Uc6KA8LK0gGTl
oGQCw&ved=0CFAQ6AEwBjgK#v=onepage&q=%22L0(X%22%20%22norm%22&f=false
にてL^0(X,μ)はX上のa.e.finite measurable functionsのspaceとなっていて,
初めてa.e.finite measurable functionという言葉を見かけたのですが,,,
どう解釈したらいいのでしょうか?

311 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

312 :132人目の素数さん:2013/06/14(金) 12:51:48.26
無意味だから無視して差し支えない
単にX上の可測関数と思えば良い

313 :あぼーん:あぼーん
あぼーん

314 :132人目の素数さん:2013/10/13(日) 00:09:00.19


315 :132人目の素数さん:2013/10/13(日) 00:11:02.66


316 :132人目の素数さん:2013/10/13(日) 00:13:06.87


317 :132人目の素数さん:2013/10/13(日) 00:15:07.81


318 :132人目の素数さん:2013/10/22(火) 03:24:12.13
おもらし上げ

319 :132人目の素数さん:2013/10/22(火) 11:47:04.79
ルベーグ積分

320 :132人目の素数さん:2013/10/23(水) 00:48:06.55
非可測集合がない世界と引き換えに
R/Qの濃度がRの濃度より大きい
のを受け入れる気にはならないな。選択公理を使わないとバナッハタルスキどころじゃなく病理的な世界が待っている。

321 :132人目の素数さん:2013/10/23(水) 01:01:54.21
非可測集合が無いと必然的にそうなるんだっけ?

322 :132人目の素数さん:2013/10/23(水) 01:26:12.37
そうだよ。だから従属選択や可算選択程度では気持ち悪くなる。

323 :132人目の素数さん:2013/10/23(水) 01:31:08.20
R→R/Qな単射は簡単に作れるが、逆向きには選択公理のような強力な武器が必要。

324 :132人目の素数さん:2013/10/23(水) 07:04:51.05
「κからλへの単射がなければλからκへの単射が存在する」
「任意のκ、λに対してκ≧λまたはκ<λ」
は選択公理とたしか同値だからこれも使っちゃいけないと思うけど。

どっちかというと、
選択公理がないと濃度の大小が全順序じゃなくなる、
という言い方の方が適切だと思う。

325 :132人目の素数さん:2013/10/23(水) 10:16:59.71
>>324
>>323では使ってないね。既に片側の単射が存在するから。
card(R/Q)≧card(R)
の方は成り立っている。

326 :132人目の素数さん:2013/10/23(水) 12:55:20.43
>>325
たぶん >>324>>323 へではなく >>320 へのレスと思う

327 :132人目の素数さん:2013/10/23(水) 17:39:09.29
>>320でも関係ないような。

328 :132人目の素数さん:2013/10/28(月) 11:38:31.16
>>320
>R/Qの濃度がRの濃度より大きい
意外と、そうかも知れない。

329 :132人目の素数さん:2013/10/28(月) 16:28:32.86
Rって案外ドロドロしているよな。

330 :132人目の素数さん:2013/10/29(火) 12:53:01.95
Nだって簡単じゃないぞ

331 :132人目の素数さん:2013/10/29(火) 15:44:07.84
Nの部分集合が複雑なのは当たり前

332 :132人目の素数さん:2013/10/29(火) 22:10:52.44
Nの部分集合全体≒実数体
だからそれは当たり前だけど、自然数のみに言及する命題でも
やたら超越性の高いものがある

333 :132人目の素数さん:2013/10/30(水) 14:18:56.62
んだんだ

334 :132人目の素数さん:2013/10/31(木) 12:15:45.25
測度論で(A+B)×C=A×C+B×C
って幾何学的に図形を見れば明らかだからどの本も
証明もなにものってないじゃないですか。
A×Cが四角形なんて決まり無いのに勝手にしてますよね。
幾何学なしで証明って出来るんですか?

335 :132人目の素数さん:2013/10/31(木) 12:25:37.19
幾何学無しもなにも、集合一般に対する主張なんだから幾何学なんて使っちゃ駄目でしょ

336 :132人目の素数さん:2013/10/31(木) 19:18:19.16
R^2のルベーグ速度からR^1のルベーグ速度は定まる?

337 :132人目の素数さん:2013/10/31(木) 22:55:23.61
A×Cってそもそも何のこと言ってるの?
直積集合のこと?

338 :132人目の素数さん:2013/11/05(火) 08:21:05.95
AとCに含まれる全ての元に対する順序対の集合だろ。

339 :132人目の素数さん:2013/11/05(火) 12:55:07.99
だとしたら証明に幾何学なんて必要ないじゃん

340 :132人目の素数さん:2013/11/05(火) 21:57:43.36
じゃあ + は合併か直和を表してるの?
>>334がそのつもりで書いているようには思えんのだが

341 :132人目の素数さん:2014/01/15(水) 08:10:10.82
宜しくお願い致します。

Tを位相としますと,
T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}はσ集合体の定義を満たすのでこれはTを含む最小のσ集合体になると思うのですがいかがでしょうか?

342 :132人目の素数さん:2014/01/15(水) 09:21:17.73
A∪補B は?

343 :132人目の素数さん:2014/01/15(水) 14:02:01.80
ええと,

A,B∈Tの時でしょうか?
B^c∈{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}なので,
A∪B^c∈T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}でうまくいっていると思います。

344 :132人目の素数さん:2014/01/15(水) 14:47:53.04
>>343
横レスだが、A, B ∈ T に限定したら証明にならんぞ。
T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} がσ集合体ならば、

A, B ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} のとき
A∪補B ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T}

が成り立つはずだが、これをどうやって証明するのか?

345 :132人目の素数さん:2014/01/15(水) 22:43:07.19
補集合について閉じてない

一般には可算個の開集合達の共通部分は開にはならないので
そのような例をとってきてTをその位相、
{U_k}k∈Nを、∩U_kが開にならないような開集合続とする。
このときG_k=(U_k)^c、B=∪G_kとするとBは含まれてもB^cが含まれない

346 :132人目の素数さん:2014/01/15(水) 23:31:36.64
>>345
B^c=∩G_k^c=∩U_k であるから、もし∩U_k が
可算無限個の閉集合の和で表し直せるなら、B^c も含まれてしまう。
従って、今のままでは反例になってない。

正しい反例は、たとえば次のようにすればよい。

Rの通常の位相をTとして、有理数全体の集合をQとすれば、
Q ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} が成り立つ(簡単に言える)。しかし、
Q^c ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} は成り立たない(ベールのカテゴリ定理を使う)。

347 :132人目の素数さん:2014/01/16(木) 00:01:54.59
>>346 の前半について補足。
たとえば、Rの通常の位相をTとして、U_k=(‐1/k, 1/k)∈T とすると、
∩U_k={ 0 } であり、これは開でないので、もし >>345 が正しいなら、
G_k=(U_k)^c、B=∪G_k としたとき、B は含まれるが B^c は含まれないはず。
確かに B ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} は成り立つ(明らか)ものの、
一方で B^c ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} もまた成り立ってしまう(よって>>345は正しくない)。
実際、B^c=∩U_k={ 0 } であるから、G'_k={ 0 } (k=1), φ (k≧2)
として閉集合の列 { G'_k }_k を作れば B^c=∪G'_k と表せるので、
B^c ∈ T∪{∪_{k=1}^∞G;G^c∈T} が成り立ってしまう。

結局、>>345 の説明では反例になってない。


正しい反例の一例は >>346 の後半で既に挙げたが、
>>345 の方針で反例を記述するなら、開集合の列 { U_k }_k であって

(1) ∩U_k は開集合でなく、高々可算無限個の閉集合の和にもならない

という条件を満たすものを持ってくればよい。このとき、
G_k=(U_k)^c、B=∪G_k とすれば、「 B は含まれるが B^c は含まれない 」
となって反例になる。しかし、上記の(1)が満たされるように開集合の列
{ U_k }_k を作るのが非常に大変で、「高々可算無限個の閉集合の和にならない」
の場所で結局ベールのカテゴリ定理に相当する定理が必要そうに見える。

348 :132人目の素数さん:2014/01/16(木) 12:07:31.31
341 の T∪{なんたら} を W と置こう。
A,B∈T のとき、A,補B∈W だが、
A∪補B∈W ではない。

349 :132人目の素数さん:2014/03/10(月) 12:27:59.16
集合Xの部分集合系としてsemi-albegra of setsを定義したとき、
そのunitは常にXと考えてしまっても良いですか。
それとも、Xよりも小さな集合がunitであるようなsemi-algebra of setsも
構成し得るのでしょうか。

350 :132人目の素数さん:2014/03/10(月) 13:13:35.12
semi-algebra of setsをググっても出んな

351 :132人目の素数さん:2014/03/10(月) 15:29:26.43
unitてなんじゃらほい?

352 :132人目の素数さん:2014/03/10(月) 16:00:06.59
>>351
共通部分∩に関する単位元のことです。
つまり、semi-algebraに含まれる集合Eがunitであるとは、やはり
semi-algebraに含まれる任意の集合Aに対して、
E∩A=A
が成り立つことと定義されるのだと思います。

353 :132人目の素数さん:2014/03/10(月) 16:05:17.47
>>352
そんなもんsemi-algebraの定義になんの関係がある?考えるのはかってだが

354 :132人目の素数さん:2014/03/10(月) 16:23:20.07
>>353

測度について勉強しています。

集合Xの部分集合系であるsemi-algebra上に定義されたσ-加法的測度を用いて
外測度を定義する段において、"semi-algebra with unit E"と指定されていた
ので、unitがXではないsemi-algebraがありえるのか?という疑問を抱きました。
些末な疑問でしたらすいません。

355 :132人目の素数さん:2014/03/10(月) 19:40:19.64
>>354
Xをunitと呼ぶと書いてあるので定義だろう

356 :132人目の素数さん:2014/03/14(金) 21:28:05.11
んだんだ

357 :132人目の素数さん:2014/03/14(金) 22:45:19.69
3.14159263538979323846264338327950188419716939937520582097494459

358 :132人目の素数さん:2014/03/15(土) 01:15:05.71
π=3.1415926「5」 のところで違ってるのは何かなー

359 :132人目の素数さん:2014/03/15(土) 22:54:19.38
πは、9桁じゃねーぞ。

360 :132人目の素数さん:2014/03/15(土) 23:01:34.07
やっちゃったなー

361 :132人目の素数さん:2014/03/16(日) 12:57:03.00
>>359
違ってる所から先を書く必要ねーだろ

362 :132人目の素数さん:2014/03/23(日) 12:50:38.21
保守

363 :132人目の素数さん:2014/03/24(月) 22:28:27.53
呆守

364 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 01:00:41.20
すべての実数からなる集合R=(-∞,+∞)が、可算個の有界区間
 [a,b) (-∞<a≦b<+∞)
で覆える理由が分かりません。また、仮に覆える場合、上の有界区間の長さを、
b-a
で定義するとき、Rを覆う可算個の有界区間の和が+∞になるのはなぜなんでしょうか?

365 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 01:07:36.89
具体的に[a,b)の族を与えてみりゃわかるだろ

366 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 07:46:53.24
364の人とは別なんですけど
開集合を半開区間の直和で覆える(証明をみる限り加算個で)っていうのは
ある種の近似の感覚ですよね? 無限に精度を上げていけるみたいな

367 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 08:40:14.22
364
a≦b ?
a<b となるものが有限個
だったら覆えない。
アルキメデス性の話を
したいんだろうけど。

366
それは、[1/n,1) n∈自然数が
(0,1) を覆うような話を
しているのか?
覆うだけなら、[0,1) だけで
覆ってもいいはずだが。

368 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 08:44:37.26
引用のしかたも低レベル

369 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 09:18:15.08
ここまで低レベルだとわざとやったとしか思えない

370 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 10:17:57.75
367
これは失礼
当方の引用が間違っておりました
-----------------------------------------------------------------------
「開集合は交わらない半開開区間の列の結び(直和)として表すことができる.」

例えばR上の開集合Gの場合、
Ap=∪{ [ n/2^(p-1),(n+1)/2^(p-1) ) | n∈Z, [ n/2^(p-1),(n+1)/2^(p-1) ) ⊂ G-∪_{p=1}^{\infty} Ai }
による列、A1,A2,…,Ap,…、により
G=∪_{p=1}^{\infty} Ai
が成り立つ.
-----------------------------------------------------------------------

(善意でここに集われ、無用のフラストレーションを抱えられた皆様に深くお詫びします)

371 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 10:33:39.10
あっ

Ap=∪{ [ n/2^(p-1),(n+1)/2^(p-1) ) | n∈Z, [ n/2^(p-1),(n+1)/2^(p-1) ) ⊂ G-∪_{p=1}^{\infty} Ai }
                                                         ~~~~~~~~
                                                     ココ   ↑
                                                         ^{p-1}   の間違いっす
さーせん                  

372 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 10:35:05.09
Ap=∪{ [ n/2^(p-1),(n+1)/2^(p-1) ) | n∈Z, [ n/2^(p-1),(n+1)/2^(p-1) ) ⊂ G-∪_{i=1}^{p-1} Ai }

373 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 12:48:47.22
レスは">>371"のように

374 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 13:25:50.80
わざとやった奴に言っても無駄

375 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 13:38:33.13
こんなレベルで悩む奴がルベーグ積分やるのは早過ぎなんじゃねーの?
見栄張らずにに松坂の集合・位相入門とかその類の入門書でお勉強しなさい。

376 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 13:53:01.53
だね

377 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 20:36:35.79
まあ、もうちょっと位相の勉強した方が良いとは思うが
あまり一般位相の細かい知識ってルベーグ積分に役立たんよね

378 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 20:50:32.95
図書館で借りて読んでる年季の入った旧い本には
不謹慎にも各時代の学徒がずいぶん書き込みをしている

その内容の凡夫レベルさに
わが身と照らして親しみを感じるやら励まされるやら

379 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 21:04:49.62
基本がわかってさえいれば、細かいことは知らなくても自分で考えられるからな。

380 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 22:06:29.60
これは酷い
帰って来て開けたら私のことぼろ糞である
位相は勉強したんだけど演習とかこなしてないの見抜かれてんだなぁ

381 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 22:31:31.49
位相がどうとかそんな超高レベル()な話じゃない

382 :132人目の素数さん:2014/04/09(水) 22:39:04.60
>>380
何読んでんの?

383 :132人目の素数さん::2014/04/15(火) 06:39:48.71
有限Σ可測関数とa.eΣ可測関数の定義を確認したいのですが下記のとおりで大丈夫でしょうか?


可測空間(Ω,Σ),E∈Σにおいて,Map(E,[-∞,+∞])∋fがE上の有限Σ可測関数であるとは
(i) fはE上のΣ可測関数, (ii) f(E)は有界.
の時のことを言う。


測度空間(Ω,Σ,μ),E∈Σにおいて,Map(E,[-∞,+∞])∋fがE上のa.e.Σ可測関数であるとは
(i) fはE上のΣ可測関数, (ii) μ({x∈E;x∈f^-1({±∞})})=0.
の時のことを言う。

384 :132人目の素数さん:2014/04/15(火) 08:36:19.94
>>383
教科書に書いてあるとおり

385 :132人目の素数さん::2014/04/15(火) 10:06:11.25
>> 384

正解ということでしょうか?

386 :132人目の素数さん:2014/04/15(火) 11:44:07.12
用語自体が変

387 :132人目の素数さん::2014/04/15(火) 13:41:59.09
>> 386

といいますと?

388 :132人目の素数さん:2014/04/15(火) 15:53:00.99
他人の本の流儀など知らん

389 :132人目の素数さん:2014/04/15(火) 16:15:04.90
次の質問は6月頃か

390 :132人目の素数さん:2014/04/15(火) 21:52:36.20
そろそろルーディンでも読むか

391 :132人目の素数さん::2014/04/16(水) 10:41:58.97
>>388

ご自身の本の流儀はどのようになっているのでしょうか?

392 :132人目の素数さん:2014/04/16(水) 10:50:02.72
>>の後にスペース入れないとなりすましに見えるよ

393 :132人目の素数さん:2014/04/16(水) 11:40:04.76
>ご自身の本の流儀
日本語を勉強しないと馬鹿に見えるよ、松坂君

394 :132人目の素数さん:2014/04/16(水) 12:42:09.80
>>391
本屋行け

395 :132人目の素数さん::2014/04/18(金) 11:06:49.51
そこを何とかお願い致します。m(_ _)m

396 :132人目の素数さん:2014/04/18(金) 14:01:29.81
無駄に他人の時間を浪費してよいという奴か

397 :132人目の素数さん:2014/04/19(土) 00:05:56.31
松坂君だから

398 :132人目の素数さん:2014/05/22(木) 22:18:12.26
test

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