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ルベーグ積分や測度論のスレ

208 :132人目の素数さん:2012/02/09(木) 22:49:01.54
まだ分かっていない者もおるようだからオジサンが解説してあげよう。

1、「非可測集合が存在するか否か」という問題は、
(※)空以外の開集合が正測度を持つ完備な測度空間
については「零集合を除いた同相」によって不変。
(ここで「零集合を除いた同相」では、測度自体は変わるが
零集合は零集合にうつることに注意。)

2、従って「非可測集合が存在するか否か」という問題の対象は、
測度空間というより、
(※)の「零集合を除いた同相」という同値関係による同値類と考えるべきである。

3、すると目的の結論は「R と R^n が同じ同値類である」となる。
(R と R^n と、それらの同値類を以下混同する。)

4、これを示す為に、R と R^n の代表元として、
ω^ω と (ω^ω)^n を(2^ω と (2^ω)^n でもいいが)取ろう。
するとこれらは同相だから当然ながら同値である。

これだけのことだ。

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