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数学的思考の本質とは何か

1 :132人目の素数さん:2011/08/13(土) 19:16:40.97
なぜ天才は500人が0点の問題で満点を取れるのか
彼らが問題を解くとき、脳内状態はどうなっているのか
ただ類題を暗記しているから解けるのか

150 :猫は優生論者 ◆MuKUnGPXAY :2011/10/13(木) 04:38:56.18
>>148
そういう計算可能性とかの数学基礎論に抵触する話題に関しては私はド素人で
すので、だから私見だったり、また私からの質問を含んでいたりしますが、と
にかくのレスをしてみます。先ず自然数nが与えられた場合に:
f(n):=1+2+...+n
g(n):={(n+1)n}/2
h(n):=h(n-1)+n, h(1):=1
と置けば、この三つは数学的には「別(々に定義された)の函数」ですよね。
でも数学の命題として『f(n)=g(n)=h(n)が全ての自然数nに対して成立する』
という事を証明する事は出来ますよね。でも例えばその定義に従ってコードを
書いた場合は「ライブラリとしては別物」になるのではないでしょうか。まあ
連立線形方程式を解くライブラリが、その内部のアルゴリズムに従って複数準
備されているのと同じではないかと思いますが。

別の例を数学から挙げれば「ヤコビの三重積公式」というのがあり:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E3%81%AE%E4%B8%89%E9%87%8D%E7%A9%8D
コレはqとzの二変数函数として無限和と無限積の二通りの表示がありますが、
この二つの標式が一致する事は当たり前ではありません。(従って数学的には
きちんとした証明が必要です。)だから先の実例と全く同じ様な事情になる訳
ですね。但しこの場合はこの両辺を計算機に実装する事に意味がアルのかどう
かは私には判りません。

(続きます)


151 :猫は優生論者 ◆MuKUnGPXAY :2011/10/13(木) 04:39:30.55
続き:

もっとシンプルな事例では、例えば「円周率πの計算公式は山の様にある」の
は事実ですが:
★★★『その全ての計算公式が皆同じ実数値πを表す。
           従ってその何れを使っても計算結果は全く同じ。』★★★
という事を保証しているのは「数学という理論」(その概ねは微積分の計算と
ソレに厳密性を与えた部分)ですよね。だからソレは計算機に拠る実行時間と
かの効率とは全く別の次元の話だと私は思います。

まあ余計なオマケかも知れませんが、例えば与えられた任意の(位相)多様体
Mに対して:
1.ホモトピー群\pi_*(M)
2.ホモロジー群H_*(M,Z)とかコホモロジー群H^*(M,Q)とか。
3.K(コ)ホモロジー群K^*(M), K_*(M)とか。
の代数的な位相不変量の場合には:
★★★『そういう不変量がきちんと定義されている事(well-definedness)と、
      実際にMが与えられた場合にそういう不変量が計算可能である事とは別。』★★★
という事はごく普通の話ですね。

今アッカーマン函数の話:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function
を読んでいます。




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